Produto escalar: conceito e fórmula. Coordenadas. Propriedades.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
O produto escalar é uma operação de fácil manejo, o que se deve à compatibilidade das suas regras de cálculo com as outras operações sobre vetores e números.
Dados dois vetores `vec u` e `vec v`, não nulos do plano ou do espaço, o produto escalar é um número real que se representa por ` vec u.vec v ` e é tal que: `vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(vec u \^ vec v)`.
Explicação da matéria
Duração: 14:26
Duração: 14:38
Exercícios resolvidos
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02 de Março de 2015, 11h34
Mensagem de Isaac
Podem dizer-me se o produto externo (produto vetorial) faz parte da matéria abordada no secundário? Ou é mesmo só o produto interno?
02 de Março de 2015, 15h57
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Isaac,
No ensino secundário só é abordado o produto interno. Se fores para a universidade e eventualmente seguires matemática, então irás aprender o conceito de produto externo de vetores.
26 de Março de 2015, 14h17
Mensagem de Leonardo Spínola
Boa tarde,
Eu tenho uma dúvida num exercício do livro. Eu consigo calcular as normas mas o resultado dá-me positivo enquanto nas soluções é negativo. Penso que o problema esteja no ângulo. Pode-me ajudar? Agradeço.
26 de Março de 2015, 19h50
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Leonardo,
Removi o teu link do exercício porque não costumo permitir que sejam colocadas dúvidas sobre outras questões.
Quando se calcula o produto escalar de um vetor utilizando a fórmula `vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(vec u \^ vec v)`, a norma dá sempre positivo, uma vez que se trata do comprimento do vetor. Assim sendo é o ângulo formado pelos vetores que vai decidir o sinal do produto interno. Se o ângulo for agudo o coseno é positivo, se o ângulo for obtuso o coseno é negativo.
27 de Março de 2015, 14h24
Mensagem de Leonardo Spínola
Obrigado pelo esclarecimento. Cumprimentos
31 de Março de 2016, 14h50
Mensagem de IML
Olá!
Resolvi o exercicio 6 de maneira diferente e o resultado deu 12. 1º calculei o comprimento AE através da área do triângulo. 2º através do teorema de Pitágoras calculei a hipotenusa. 3º calculei a tangente para descobrir o ângulo, fiz 90- esse ângulo. e depois calculei o produto escalar normalmente. Onde está o erro?
01 de Abril de 2016, 09h15
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Inês,
O teu erro de raciocínio está na forma de calcular o ângulo. Atenção que o ângulo formado pelos vetores `vec (ED) \^ vec (DC)` não é o ângulo agudo `EDC`, mas sim o ângulo obtuso `BED`. Isto porque, quando queremos calcular o ângulo formado por dois vetores temos que "juntar" origem com origem de ambos os vetores. A forma correta de resolução do exercício é aquela que está no vídeo, porque permite resolver todo o exercício sem recorrer à calculadora. Espero ter ajudado!
21 de Setembro de 2016, 21h54
Mensagem de Ricardo
Olá Vitor
Tenho uma dúvida que poderá ser um pouco ignorante, mas acho que sei calcular o produto escalar de vetores, mas não sei para que realmente serve esta ferramenta matemática. Obrigado pela atenção!
23 de Setembro de 2016, 17h55
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Ricardo,
Fico muito satisfeito quando os alunos não se limitam a memorizar conceitos e tentam perceber a utilidade da matéria. Chama-se produto escalar de dois vetores ao resultado do produto do comprimento do maior vetor pela projeção escalar do menor sobre este. Eu sei que é um palavreado um pouco técnico, mas para explicar melhor só fazendo um esquema. Basicamente, este produto escalar serve, na maior parte das vezes, para encontrar o ângulo formado por dois vetores. Espero que fiques esclarecido!
20 de Julho de 2017, 11h31
Mensagem de Carina
Tenho uma duvida, quando os vectores seguem direções iguais quanto é o angulo que formam entre eles, e quando são direções diferentes? Obrigada
21 de Julho de 2017, 08h51
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Carina,
Começo por esclarecer que provavelmente estás a fazer confusão entre sentido e direção. São noções diferentes e parto do principio que aquilo que pretendes saber, é qual é o ângulo entre vetores, com sentidos iguais ou com sentidos opostos. Quando dois vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido, então formam entre eles um ângulo de 0 (zero) graus. Se tiverem a mesma direção mas sentido oposto, então o ângulo por eles formado é de 180º.
03 de Janeiro de 2018, 18h56
Mensagem de Carlos
Tenho uma dúvida, quando o ângulo formado entre os 2 vetores é obtuso, como é que obtemos o valor para multiplicar com a norma dos dois vetores? Obrigado.
04 de Janeiro de 2018, 17h17
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Carlos,
Não sei se percebi bem a tua dúvida. Mas utiliza-se a mesma fórmula do produto escalar quer o ângulo seja agudo, reto ou obtuso. Isto é, calcula-se o cosseno do ângulo e multiplica-se pela norma de ambos os vetores.
24 de Junho de 2018, 22h10
Mensagem de Fátima Vense Melotto
O produto escalar é a operação matemática que permite multiplicar um vetor por outro e obter um número como resposta. É correto o que se afirma.
04 de Novembro de 2018, 12h24
Mensagem de Jorge
Ainda não percebo o que é o produto escalar, quer dizer o que é que esse número, formado por essa fórmula, tem de tão especial? O que é que representa? O que é o "Produto Escalar"?
04 de Novembro de 2018, 16h49
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Jorge,
A utilização prática deste conceito está associado ao campo da física. Vamos supor dois vetores: `vec u` e `vec v`. Ambos representam forças. Vamos ainda supor que são forças aplicadas em diferentes direções. Ao calcular o produto escalar `vec u . vec v`, este resultado dá-nos um numero real, que por sua vez representa o quanto da força `vec u` está sendo aplicada na direção da força `vec v`. Desculpa se não consigo explicar melhor, mas a física também não é o meu forte.
09 de Outubro de 2019, 19h28
Mensagem de Fábio Manuel
Boa tarde,
Tenho uma dúvida sobre os componentes (Vídeo 2): Eu percebi o que são vetores unitários de norma 1, mas eles têm de necessariamente estar no eixo das abcissas e/ou das ordenadas? Os componentes tem algum uso prático tirando o uso demonstrado no vídeo 2?
10 de Outubro de 2019, 16h02
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Fábio,
Os componentes de um vetor, também chamados de componentes ortogonais ou componentes cartesianos, são sempre utilizados na direção dos eixos coordenados. Normalmente esta noção só se utiliza no inicio do cálculo vetorial, quando o aluno ainda se está a familiarizar com a noção de vetor. Assim que o aluno dominar estes conceitos introdutórios, esta noção de componentes de um vetor cai um pouco no esquecimento, porque o aluno acaba por a utilizar sem se aperceber disso.
14 de Outubro de 2019, 11h31
Mensagem de Fábio
Percebi. Obrigado pelo esclarecimento. Cumprimentos.
17 de Março de 2020, 07h36
Mensagem de Toni Muekália
Podem por favor dizer-me, se quando se trata do produto escalar, indispensavelmente deve aparecer cos na sua fórmula?
17 de Março de 2020, 14h04
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Toni,
A resposta é não. O produto escalar (também designado por produto interno) pode ser calculado de duas formas distintas. Uma delas é através da norma dos vetores e do cosseno do ângulo formado por esses vetores, ou seja, `vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(vec u \^ vec v)`. A outra forma, mais simples, consiste em calcular o produto das coordenadas dos vetores, isto é, `vec u.vec v=u_1xxv_1+u_2xxv_2`.
24 de Abril de 2021, 19h47
Mensagem de José António
Já passei a minha fase de estudante à décadas e gostaria de lhe dar os meus parabéns pela clareza exemplar como aborda estes temas. Sem dúvida alguma que é um excelente professor. Desejo uma vida longa para que muitos possam aprender consigo. Parabéns!
25 de Abril de 2021, 07h38
Mensagem de Vitor Nunes
Olá José,
Obrigado pelas palavras amáveis. São mensagens como a sua que nos dão força para continuar a fazer cada vez mais e melhor conteúdo.
09 de Agosto de 2021, 11h37
Mensagem de Paulo Cardeta
Muitos parabéns pelo seu excelente trabalho. Eu já não estudava matemática há alguns e bons anos, resolvi entrar para engenharia informática porque é uma paixão minha, e comecei a estudar matemática praticamente do zero, tenho acompanhado este canal de matemática que na minha opinião é excelente. No 11° ano já começa a complicar, mas com as suas explicações fica bastante mais fácil. Obrigado.
09 de Agosto de 2021, 14h56
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Paulo,
Boa sorte no teu curso de engenharia informática. Eu também tenho uma licenciatura nessa área e sei por experiencia própria, que o curso envolve bastantes conhecimentos de matemática. Mas com força de vontade, tudo se consegue!
10 de Dezembro de 2021, 13h52
Mensagem de Claudio Vidal
Parabéns, carissimo Vitor Nunes, belissima utilidade publica aqui tem !
Vi os seus videos sobre produto escalar, mas sobre o calculo usando as coordenadas dos vetores, não percebi como se usa na prática. Pode mostrar-me a resolução de algum exercicio onde se use isso ?
Muito obrigado
10 de Dezembro de 2021, 19h16
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Claudio,
Por exemplo, o exercício nº 5 presente nesta página utiliza esse conceito. Para podermos calcular o valor da abcissa do ponto `P`, vai ser necessário calcular o produto escalar de dois vetores utilizando as suas coordenadas. Como referem que os vetores são perpendiculares então o seu produto escalar vai ser zero.
Todos os vídeos aqui presentes têm por objetivo fornecer ao aluno explicações de matemática online na forma mais intuitiva possível. Todos eles estão disponíveis para consulta através dos canais do YouTube: matematica.PT, Os números da Inês, ExplicaMat, Academia Aberta, Matemática Simples e Matemática no Mocho. Caso encontres algum erro, (por exemplo um vídeo que não funcione ou que não corresponda à explicação do exercício proposto) ou caso queiras dar alguma sugestão de melhoramento, não hesites em nos enviar um email através da página Contactar. Tentaremos dar resposta tão brevemente quanto possível.
