Aulas > 11º ano > Geometria Analítica > Aula nº 4

Produto escalar: conceito e fórmula. Coordenadas. Propriedades.

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Vê o(s) vídeo(s) que contém a explicação da matéria e depois tenta resolver exercícios sobre este tema. Bom estudo!

Aula Nº: 4 / Total: 14
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Introdução

O produto escalar é uma operação de fácil manejo, o que se deve à compatibilidade das suas regras de cálculo com as outras operações sobre vetores e números.
Dados dois vetores `vec u` e `vec v`, não nulos do plano ou do espaço, o produto escalar é um número real que se representa por ` vec u.vec v ` e é tal que: `vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(vec u \^ vec v)`.




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Foram feitos 16 comentários/dúvidas.
02 de Março de 2015, 11h34

Mensagem de Isaac

Podem dizer-me se o produto externo (produto vetorial) faz parte da matéria abordada no secundário? Ou é mesmo só o produto interno?

02 de Março de 2015, 15h57

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Isaac,
No ensino secundário só é abordado o produto interno. Se fores para a universidade e eventualmente seguires matemática, então irás aprender o conceito de produto externo de vetores.

26 de Março de 2015, 14h17

Mensagem de Leonardo Spínola

Boa tarde,
Eu tenho uma dúvida num exercício do livro. Eu consigo calcular as normas mas o resultado dá-me positivo enquanto nas soluções é negativo. Penso que o problema esteja no ângulo. Pode-me ajudar? Agradeço.

26 de Março de 2015, 19h50

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Leonardo,
Removi o teu link do exercício porque não costumo permitir que sejam colocadas dúvidas sobre outras questões.
Quando se calcula o produto escalar de um vetor utilizando a fórmula `vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(vec u \^ vec v)`, a norma dá sempre positivo, uma vez que se trata do comprimento do vetor. Assim sendo é o ângulo formado pelos vetores que vai decidir o sinal do produto interno. Se o ângulo for agudo o coseno é positivo, se o ângulo for obtuso o coseno é negativo.

27 de Março de 2015, 14h24

Mensagem de Leonardo Spínola

Obrigado pelo esclarecimento. Cumprimentos

31 de Março de 2016, 14h50

Mensagem de IML

Olá!
Resolvi o exercicio 6 de maneira diferente e o resultado deu 12. 1º calculei o comprimento AE através da área do triângulo. 2º através do teorema de Pitágoras calculei a hipotenusa. 3º calculei a tangente para descobrir o ângulo, fiz 90- esse ângulo. e depois calculei o produto escalar normalmente. Onde está o erro?

01 de Abril de 2016, 09h15

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Inês,
O teu erro de raciocínio está na forma de calcular o ângulo. Atenção que o ângulo formado pelos vetores `vec (ED) \^ vec (DC)` não é o ângulo agudo `EDC`, mas sim o ângulo obtuso `BED`. Isto porque, quando queremos calcular o ângulo formado por dois vetores temos que "juntar" origem com origem de ambos os vetores. A forma correta de resolução do exercício é aquela que está no vídeo, porque permite resolver todo o exercício sem recorrer à calculadora. Espero ter ajudado!

21 de Setembro de 2016, 21h54

Mensagem de Ricardo

Olá Vitor
Tenho uma dúvida que poderá ser um pouco ignorante, mas acho que sei calcular o produto escalar de vetores, mas não sei para que realmente serve esta ferramenta matemática. Obrigado pela atenção!

23 de Setembro de 2016, 17h55

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ricardo,
Fico muito satisfeito quando os alunos não se limitam a memorizar conceitos e tentam perceber a utilidade da matéria. Chama-se produto escalar de dois vetores ao resultado do produto do comprimento do maior vetor pela projeção escalar do menor sobre este. Eu sei que é um palavreado um pouco técnico, mas para explicar melhor só fazendo um esquema. Basicamente, este produto escalar serve, na maior parte das vezes, para encontrar o ângulo formado por dois vetores. Espero que fiques esclarecido!

20 de Julho de 2017, 11h31

Mensagem de Carina

Tenho uma duvida, quando os vectores seguem direções iguais quanto é o angulo que formam entre eles, e quando são direções diferentes? Obrigada

21 de Julho de 2017, 08h51

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carina,
Começo por esclarecer que provavelmente estás a fazer confusão entre sentido e direção. São noções diferentes e parto do principio que aquilo que pretendes saber, é qual é o ângulo entre vetores, com sentidos iguais ou com sentidos opostos. Quando dois vetores têm a mesma direção e o mesmo sentido, então formam entre eles um ângulo de 0 (zero) graus. Se tiverem a mesma direção mas sentido oposto, então o ângulo por eles formado é de 180º.

03 de Janeiro de 2018, 18h56

Mensagem de Carlos

Tenho uma dúvida, quando o ângulo formado entre os 2 vetores é obtuso, como é que obtemos o valor para multiplicar com a norma dos dois vetores? Obrigado.

04 de Janeiro de 2018, 17h17

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carlos,
Não sei se percebi bem a tua dúvida. Mas utiliza-se a mesma fórmula do produto escalar quer o ângulo seja agudo, reto ou obtuso. Isto é, calcula-se o cosseno do ângulo e multiplica-se pela norma de ambos os vetores.

24 de Junho de 2018, 22h10

Mensagem de Fátima Vense Melotto

O produto escalar é a operação matemática que permite multiplicar um vetor por outro e obter um número como resposta. É correto o que se afirma.

04 de Novembro de 2018, 12h24

Mensagem de Jorge

Ainda não percebo o que é o produto escalar, quer dizer o que é que esse número, formado por essa fórmula, tem de tão especial? O que é que representa? O que é o "Produto Escalar"?

04 de Novembro de 2018, 16h49

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Jorge,
A utilização prática deste conceito está associado ao campo da física. Vamos supor dois vetores: `vec u` e `vec v`. Ambos representam forças. Vamos ainda supor que são forças aplicadas em diferentes direções. Ao calcular o produto escalar `vec u . vec v`, este resultado dá-nos um numero real, que por sua vez representa o quanto da força `vec u` está sendo aplicada na direção da força `vec v`. Desculpa se não consigo explicar melhor, mas a física também não é o meu forte.

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