Aulas > 12º ano > Aula nº 46

Limites notáveis.

lista de tarefas

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Cálculo de Limites

Lição nº: 5 / Total: 5

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Introdução

introdução matemática

Existem alguns limites, que não estão ao alcance do conhecimento dos alunos a aplicação de estratégias que permitam levantar a indeterminação por processos exclusivamente algébricos. Esses limites fazem parte de um conjunto a que vamos chamar de Limites Notáveis. São teoremas que não irão ser demonstrados, mas que são aceites e aplicados em diversas situações.
Todos estes limites, cujo valor é conhecido, são especialmente úteis no cálculo de certos outros limites e, principalmente, no levantamento de algumas indeterminações.



Exercícios resolvidos

Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
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Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano


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Foram feitos 19 comentários/dúvidas.
07 de Abril de 2015, 23h24

Mensagem de André Mombrun

O resultado do exercício numero 1, está certo, mas o "elevado ao quadrado" desapareceu... (como o valor é 1... correu bem...). Cumprimentos.

08 de Abril de 2015, 12h55

Mensagem de Vitor Nunes

Olá André,
Estive a ver o vídeo com a resolução do exercicio nº 1 e tens toda a razão! Na parte final, esqueci-me de colocar o limite notável ao quadrado. De facto, tive sorte, como o valor do limite notável é 1, o esquecimento do quadrado não alterou o resultado. Como vês até os professores cometem erros. Obrigado pela chamada de atenção.
Votos de bons resultados escolares.

19 de Junho de 2016, 11h13

Mensagem de Rafael

É mesmo preciso fazer a mudança de variável para aplicar os limites notáveis? Ou é apenas uma questão de organização? Obrigado, cumprimentos!

20 de Junho de 2016, 15h01

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rafael,
Isso pode depender um pouco de quem está a corrigir o exame, e por isso eu aconselho a fazer a mudança de variável. Mas, na verdade, não é obrigatório. Na resolução de equações, muitas vezes os alunos saltam passos intermédios, porque fazem essas operações "de cabeça" e a resolução continua correta! Portanto, não penso que sejas prejudicado se não fizeres a mudança de variável e aplicares diretamente o valor do Limite Notável.

21 de Janeiro de 2017, 14h23

Mensagem de Sofia

Boa tarde!
Na componente pratica, como sabemos, olhando logo para o exercício, para o limite em causa, de qual limite notável se tratará? Exponencial e logarítmica é fácil distinguir, agora relativamente ao x, muitas vezes, ao mudar de variável pode ser que altere de mais infinito para 0, ou ao contrario, é o limite passa a ser diferente... estou confusa. Desde já, obrigada!

23 de Janeiro de 2017, 08h44

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Sofia,
Eu sei que não é fácil, e por hábito esta é uma das dúvidas mais sentidas por todos os estudantes que estão a tentar utilizar os limites notáveis para levantar as indeterminações. Infelizmente, não existe nenhum truque para distinguir os casos. A única forma é mesmo resolver exercícios. À medida que resolves cada vez mais limites, aprendes a reconhecer quais as técnicas que deves utilizar em cada exercício. Assim sendo, dou-te três conselhos: praticar, praticar, praticar. Boa sorte e sobretudo não desistas!

23 de Janeiro de 2017, 18h25

Mensagem de Sofia

Porque se troca de variável? E quando temos de o fazer?
Obrigada

24 de Janeiro de 2017, 08h14

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Sofia,
A troca de variável é uma técnica que se utiliza no cálculo de certos limites. Essa troca é feita para conseguir levantar a indeterminação, sem isso não conseguiríamos conhecer o valor do limite da função. Normalmente utiliza-se quando pretendemos encontrar uma expressão equivalente àquela que é dada, mas em que apareça um dos limites notáveis conhecidos. Assim que conseguimos isso, efetuamos o cálculo desse limite notável e, em principio, a indeterminação desaparece.

09 de Fevereiro de 2017, 16h08

Mensagem de Cat

Boa tarde professor.
Na resolução do exercício 4, a propriedade das potências que se aplica, logo no início, não é apenas válida para quando os expoentes estão a somar? E qual é a propriedade dos limites que permite passar o (1/e^1) para trás do limite? Obrigado

09 de Fevereiro de 2017, 22h23

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Cat,
Eu entendo perfeitamente a tua dúvida, porque é muito comum. Mas repara que ter `e^(2x-1)` é a mesma coisa que ter `e^(2x + (-1))`, e isto por sua vez é igual a `e^(2x) xx e^(-1)`. Quanto à tua segunda pergunta, `1/e` é uma constante. Como o limite da constante é igual à própria constante, esta pode passar para trás do limite.

22 de Fevereiro de 2017, 14h03

Mensagem de Eugénia

Quando num limite da indeterminação e temos raízes, temos de multiplicar pelo conjugado. Se tiver √(x-1) vezes (-√x-1) dá -x+1 ou -x-1 troca se o sinal ou não?

23 de Fevereiro de 2017, 08h57

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Eugénia,
Nesse tipo de indeterminações, em que é necessário multiplicar pelo conjugado, só se pode trocar um dos sinais. Se por exemplo tivermos `-sqrt(x+1) + sqrt(x)` o conjugado irá ficar `-sqrt(x+1) - sqrt(x)`. Ou ainda, se tivermos `sqrt(x-1) - 9`, o conjugado irá ficar `sqrt(x-1) + 9`. É necessário perceber a razão da utilização do conjugado, o objetivo é poder utilizar o caso notável diferença de quadrados para poder eliminar a raiz e simplificar a expressão.

20 de Março de 2017, 22h15

Mensagem de Bruno

Boa noite, prof. Vitor Nunes.
No Exercício nº 12 aquando da separação do Ln(y+2/2), na passagem ficou Ln(y/2+1), não entendi a passagem. Grato.

21 de Março de 2017, 07h54

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Bruno,
A passagem a que te referes é bastante simples. Separou-se a fração `(y+2)/2` em duas frações, ou seja, `(y+2)/2 = y/2 +2/2 = y/2 + 1`. Como tudo foi feito num único passo, por vezes, para quem não está familiarizado, pode não ser óbvio.

21 de Março de 2017, 08h11

Mensagem de Bruno

Obrigado professor! Logo depois do comentário, percebi como foi feito. Bastou "desligar-me" para entender.

09 de Julho de 2017, 15h40

Mensagem de Inês M

Olá professor,
Tenho uma dúvida em relação à estratégia de resolução no caso da indeterminação 0 x oo: não entendo como é que devemos "colocar na indeterminação oo / oo". No caso do exercício 1, como se trata de uma indeterminação desse tipo, tentei aplicar essa estratégia mas não dava, nem foi assim que realmente se resolveu o problema (vendo o vídeo com a explicação). Aguardo resposta e desde já obrigada.

09 de Julho de 2017, 18h35

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Inês,
Não estou bem certo de ter entendido a tua dúvida. Mas no caso do exercício 1, tínhamos uma indeterminação do tipo `oo xx 0` e depois de efetuar o produto ficamos com uma indeterminação do tipo `0/0`. A partir daqui, tivemos que "trabalhar" a expressão, de forma a poder aplicar o limite notável e levantar a indeterminação!

22 de Abril de 2021, 16h06

Mensagem de Juliana

Boa tarde,
Quando é necessário fazer mudança de variável, qual é a melhor forma de apresentá-la num exame, mais especificamente no exame para ingresso aos maiores de 23 anos? Seria correto indicar como cálculo auxiliar?
Obrigada desde já.

23 de Abril de 2021, 09h21

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Juliana,
É indiferente, podes fazer a mudança de variável junto dos cálculos principais ou em cálculos auxiliares. Ambas as situações são aceitáveis seja no exame de matemática do 12º ano ou no de maiores de 23.

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