Limites Notáveis.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida sobre os exercícios propostos, consulta a resolução ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Existem alguns limites, que não estão ao alcance do conhecimento dos alunos a aplicação de estratégias que permitam levantar a indeterminação por processos exclusivamente algébricos. Esses limites fazem parte de um conjunto a que vamos chamar de Limites Notáveis. São teoremas que não irão ser demonstrados, mas que são aceites e aplicados em diversas situações.
Todos estes limites, cujo valor é conhecido, são especialmente úteis no cálculo de certos outros limites e, principalmente, no levantamento de algumas indeterminações.
Explicação da matéria
Exercícios resolvidos
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07 de Abril de 2015, 23h24
Mensagem de André Mombrun
O resultado do exercício numero 1, está certo, mas o "elevado ao quadrado" desapareceu... (como o valor é 1... correu bem...). Cumprimentos.
08 de Abril de 2015, 12h55
Mensagem de Vitor Nunes
Olá André,
Estive a ver o vídeo com a resolução do exercicio nº 1 e tens toda a razão! Na parte final, esqueci-me de colocar o limite notável ao quadrado. De facto, tive sorte, como o valor do limite notável é 1, o esquecimento do quadrado não alterou o resultado. Como vês até os professores cometem erros. Obrigado pela chamada de atenção.
Votos de bons resultados escolares.
19 de Junho de 2016, 11h13
Mensagem de Rafael
É mesmo preciso fazer a mudança de variável para aplicar os limites notáveis? Ou é apenas uma questão de organização? Obrigado, cumprimentos!
20 de Junho de 2016, 15h01
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Rafael,
Isso pode depender um pouco de quem está a corrigir o exame, e por isso eu aconselho a fazer a mudança de variável. Mas, na verdade, não é obrigatório. Na resolução de equações, muitas vezes os alunos saltam passos intermédios, porque fazem essas operações "de cabeça" e a resolução continua correta! Portanto, não penso que sejas prejudicado se não fizeres a mudança de variável e aplicares diretamente o valor do Limite Notável.
21 de Janeiro de 2017, 14h23
Mensagem de Sofia
Boa tarde!
Na componente pratica, como sabemos, olhando logo para o exercício, para o limite em causa, de qual limite notável se tratará? Exponencial e logarítmica é fácil distinguir, agora relativamente ao x, muitas vezes, ao mudar de variável pode ser que altere de mais infinito para 0, ou ao contrario, é o limite passa a ser diferente... estou confusa. Desde já, obrigada!
23 de Janeiro de 2017, 08h44
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Sofia,
Eu sei que não é fácil, e por hábito esta é uma das dúvidas mais sentidas por todos os estudantes que estão a tentar utilizar os limites notáveis para levantar as indeterminações. Infelizmente, não existe nenhum truque para distinguir os casos. A única forma é mesmo resolver exercícios. À medida que resolves cada vez mais limites, aprendes a reconhecer quais as técnicas que deves utilizar em cada exercício. Assim sendo, dou-te três conselhos: praticar, praticar, praticar. Boa sorte e sobretudo não desistas!
23 de Janeiro de 2017, 18h25
Mensagem de Sofia
Porque se troca de variável? E quando temos de o fazer?
Obrigada
24 de Janeiro de 2017, 08h14
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Sofia,
A troca de variável é uma técnica que se utiliza no cálculo de certos limites. Essa troca é feita para conseguir levantar a indeterminação, sem isso não conseguiríamos conhecer o valor do limite da função. Normalmente utiliza-se quando pretendemos encontrar uma expressão equivalente àquela que é dada, mas em que apareça um dos limites notáveis conhecidos. Assim que conseguimos isso, efetuamos o cálculo desse limite notável e, em principio, a indeterminação desaparece.
09 de Fevereiro de 2017, 16h08
Mensagem de Cat
Boa tarde professor.
Na resolução do exercício 4, a propriedade das potências que se aplica, logo no início, não é apenas válida para quando os expoentes estão a somar? E qual é a propriedade dos limites que permite passar o (1/e^1) para trás do limite? Obrigado
09 de Fevereiro de 2017, 22h23
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Cat,
Eu entendo perfeitamente a tua dúvida, porque é muito comum. Mas repara que ter `e^(2x-1)` é a mesma coisa que ter `e^(2x + (-1))`, e isto por sua vez é igual a `e^(2x) xx e^(-1)`. Quanto à tua segunda pergunta, `1/e` é uma constante. Como o limite da constante é igual à própria constante, esta pode passar para trás do limite.
22 de Fevereiro de 2017, 14h03
Mensagem de Eugénia
Quando num limite da indeterminação e temos raízes, temos de multiplicar pelo conjugado. Se tiver √(x-1) vezes (-√x-1) dá -x+1 ou -x-1 troca se o sinal ou não?
23 de Fevereiro de 2017, 08h57
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Eugénia,
Nesse tipo de indeterminações, em que é necessário multiplicar pelo conjugado, só se pode trocar um dos sinais. Se por exemplo tivermos `-sqrt(x+1) + sqrt(x)` o conjugado irá ficar `-sqrt(x+1) - sqrt(x)`. Ou ainda, se tivermos `sqrt(x-1) - 9`, o conjugado irá ficar `sqrt(x-1) + 9`. É necessário perceber a razão da utilização do conjugado, o objetivo é poder utilizar o caso notável diferença de quadrados para poder eliminar a raiz e simplificar a expressão.
20 de Março de 2017, 22h15
Mensagem de Bruno
Boa noite, prof. Vitor Nunes.
No Exercício nº 12 aquando da separação do Ln(y+2/2), na passagem ficou Ln(y/2+1), não entendi a passagem. Grato.
21 de Março de 2017, 07h54
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Bruno,
A passagem a que te referes é bastante simples. Separou-se a fração `(y+2)/2` em duas frações, ou seja, `(y+2)/2 = y/2 +2/2 = y/2 + 1`. Como tudo foi feito num único passo, por vezes, para quem não está familiarizado, pode não ser óbvio.
21 de Março de 2017, 08h11
Mensagem de Bruno
Obrigado professor! Logo depois do comentário, percebi como foi feito. Bastou "desligar-me" para entender.
09 de Julho de 2017, 15h40
Mensagem de Inês M
Olá professor,
Tenho uma dúvida em relação à estratégia de resolução no caso da indeterminação 0 x oo: não entendo como é que devemos "colocar na indeterminação oo / oo". No caso do exercício 1, como se trata de uma indeterminação desse tipo, tentei aplicar essa estratégia mas não dava, nem foi assim que realmente se resolveu o problema (vendo o vídeo com a explicação). Aguardo resposta e desde já obrigada.
09 de Julho de 2017, 18h35
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Inês,
Não estou bem certo de ter entendido a tua dúvida. Mas no caso do exercício 1, tínhamos uma indeterminação do tipo `oo xx 0` e depois de efetuar o produto ficamos com uma indeterminação do tipo `0/0`. A partir daqui, tivemos que "trabalhar" a expressão, de forma a poder aplicar o limite notável e levantar a indeterminação!
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