Aulas > 12º ano > Aula nº 23

Assintotas, conceito e aplicação prática. (revisão)

lista de tarefas

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Funções Reais de Variável Real

Lição nº: 4 / Total: 12

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Concluir o 12º ano 57%

Introdução

introdução matemática

No estudo das funções racionais encontramos retas que orientam o traçado dos gráficos. Essas retas são chamadas assíntotas do gráfico. O gráfico da função, ou parte dele, aproxima-se da assíntota de tal forma que se acaba por confundir com ela, quando a distância à origem do referencial tende para o infinito.
As assíntotas podem ser divididas em dois tipos: as verticais e as não verticais (horizontais e oblíquas).



Exercícios resolvidos

Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
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Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano


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Foram feitos 20 comentários/dúvidas.
16 de Abril de 2015, 17h22

Mensagem de Tiago Ferreira

Boa tarde! Só para avisar que o exercício 16 e 19 são iguais. Penso que são os únicos.

16 de Abril de 2015, 19h44

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Tiago,
Obrigado pelo olhar observador. O exercício que estava repetido já foi eliminado e os restantes foram renumerados.
Agradeço pela chamada de atenção.

17 de Março de 2018, 21h35

Mensagem de Susana

Boa noite! Uma função contínua em R nunca poderá ter assíntotas verticais?

18 de Março de 2018, 10h34

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Susana,
Para encontrar as assíntotas verticais, o primeiro passo é sempre ver o domínio da função. Só se a função for descontínua, é que se averigua a possibilidade de existirem assíntotas verticais nos pontos de descontinuidade. Como tal, se uma função for contínua em `RR` não terá de certeza esse tipo de assíntotas. Como é óbvio, isso não invalida que possa ter assíntotas não verticais, que podem ser encontradas quando se estudam os limites da função, quando esta tende para infinito.

22 de Março de 2019, 10h49

Mensagem de Ricardo

Existem assíntotas não verticais numa função com domínio R+?

22 de Março de 2019, 15h22

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ricardo,
Podem existir ou não, terá que se fazer o estudo para ficarmos a saber se essas assíntotas existem. Em todo o caso, tendo em conta que o domínio da função é `RR^+`, se existirem assíntotas não verticais, será apenas uma e poderá ser encontrada quando se calcula o limite da função quando `x` tende para mais infinito.

18 de Maio de 2019, 17h07

Mensagem de Andreia

Boa tarde! Quando se está a calcular as assíntotas verticais numa função definida por ramos, em que um ramo está x≤a e outro x>a, é necessário calcular o limite à esquerda e à direita de a ou só à direita?

19 de Maio de 2019, 08h50

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Andreia,
É indiferente se o sinal da desigualdade inclui o igual ou não, é sempre necessário, quando calculamos as assíntotas verticais numa função por ramos, calcular o limite à esquerda e à direita do ponto de descontinuidade. Mas se o objetivo é apurar se existem assíntotas verticais e já provaste que existe quando calculavas o limite à esquerda, então não é necessário voltar a calcular o limite à direita, uma vez que já provaste que existe uma assíntota. Espero ter sido esclarecedor.

25 de Maio de 2020, 23h06

Mensagem de Dean Rodelo

Se já sei que a reta de equação y=mx+b é assíntota ao gráfico de f em +oo, em cálculos de limites que envolvam f, quando x tende para +oo, posso substituir f pela equação da assíntota?

26 de Maio de 2020, 10h00

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Dean,
Parece-me que sim, pelo menos, aquilo que diz faz sentido. Se a reta é uma assíntota obliqua da função quando `x -> +oo`, então o limite da função estará muito perto da imagem da reta. No entanto, não consigo garantir que isso seja possível sem ver o exercício em questão. Isto porque pode haver algo no enunciado que não nos permita fazer aquilo que pretende.

23 de Julho de 2020, 16h04

Mensagem de João

Olá boa tarde,
Tenho uma dúvida: ao calcular o m(declive), a condição normal é Limite de F(X)/X certo? Ou seja, limite da função a dividir por X. A minha dúvida é se é possível calcular o m apenas fazendo Limite F(X), ou seja, da função apenas, sem ter que dividir por X. Porque eu já vi alguns exercícios de funções exponenciais, que calcularam o declive apenas fazendo limite da função sem dividir por X.

23 de Julho de 2020, 16h26

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Só para que fique claro, aquilo que pretendes é calcular o declive da reta que corresponde a uma assíntota não vertical de uma determinada função. A equação dessa assíntota é: `y=mx+b`. Quanto ao declive desta reta, este é sempre calculado com a seguinte fórmula: `m=lim_(x->oo) f(x)/x`. Para entenderes melhor a razão de ser desta fórmula, aconselho-te a visitar a página que explica as assíntotas obliquas.

15 de Outubro de 2020, 08h17

Mensagem de Miguel Nunes

Bom dia, gostaria de saber como é representar o gráfico de uma A.V. cujo domínio da função é: R/{-1 e 0 }?

15 de Outubro de 2020, 11h08

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Miguel,
Isso vai depender da expressão analítica da função.
Tendo em conta que a função tem dois pontos de descontinuidade, a função poderá ter quatro assíntotas verticais diferentes, ou seja, uma à esquerda e à direita de cada um desses dois pontos. Mas, dada a natureza da função, até pode acontecer que ela não tenha nenhuma assíntota. Cada caso é um caso, para poder representar o seu gráfico terás que estudar a existência de limites à esquerda e à direita de cada um desses pontos e verificar se a função tende para mais ou menos infinito nesses locais.

06 de Janeiro de 2021, 17h10

Mensagem de Gonçalo Ferreira

Olá! Sabe-me dizer quando é que nós conseguimos saber que uma função não tem assintotas horizontais olhando apenas para ela? É que eu fiz um exercício que estava relacionado com isso, se não me engano falava do domínio, só que não percebi a explicação. Agradeço se me conseguir ajudar!

06 de Janeiro de 2021, 18h06

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Gonçalo,
Quando dizes olhando apenas para a função, parto do principio que te referes à sua expressão algébrica, porque olhando para o gráfico é fácil tirar esse tipo de conclusão. Para que uma função tenha assíntotas horizontais, o seu domínio terá que tender para mais ou menos infinito. Por exemplo, uma função cujo domínio seja `[1,8]` não poderá ter assíntotas horizontais.

11 de Janeiro de 2021, 14h49

Mensagem de Carolina Lucas

Boa tarde, sabe-me esclarecer se numa função definida por ramos, é preciso estudar a continuidade no ponto que separa os ramos antes de estudar a existência de assintotas verticais?
Muito obrigada pela ajuda!

11 de Janeiro de 2021, 19h19

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carolina,
Para calcular as assíntotas verticais, não é necessário estudar a continuidade da função, no ponto que separa os ramos. Mas, nada te impede de o fazer. Se eventualmente chegares à conclusão que a função é contínua no ponto de mudança de ramo, então de certeza que não existe nenhuma assíntota vertical nesse ponto.

14 de Março de 2022, 16h01

Mensagem de Raquel coelho

Boa tarde. Tenho um exercício em que, ao calcular m para verificar a existência de assintotas não verticais, não obtenho o mesmo valor para +inf e -inf. Ou seja, para +inf obtenho +inf mas para -inf obtenho 0. Nestes casos consideramos o valor do 0 e verificamos b a seguir? Consideramos que tem assintota não vertical mesmo que um dos limites tenha dado inf?
obrigada.

15 de Março de 2022, 11h11

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Raquel,
É perfeitamente normal, quando calculamos a existência de assíntotas não verticais, obter valores diferentes à esquerda e à direita. Se ao calcular o valor de `m`, obtermos infinito, é porque não existe assíntota. Se obtivermos zero, então trata-se de uma assíntota horizontal. Nesse caso avançamos para o cálculo de `b` para obter a equação da reta da assíntota.

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