Assintotas, conceito e aplicação prática. (revisão)
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
No estudo das funções racionais encontramos retas que orientam o traçado dos gráficos. Essas retas são chamadas assíntotas do gráfico. O gráfico da função, ou parte dele, aproxima-se da assíntota de tal forma que se acaba por confundir com ela, quando a distância à origem do referencial tende para o infinito.
As assíntotas podem ser divididas em dois tipos: as verticais e as não verticais (horizontais e oblíquas).
Explicação da matéria
Duração: 19:12
Duração: 22:42
Exercícios resolvidos
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16 de Abril de 2015, 17h22
Mensagem de Tiago Ferreira
Boa tarde! Só para avisar que o exercício 16 e 19 são iguais. Penso que são os únicos.
16 de Abril de 2015, 19h44
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Tiago,
Obrigado pelo olhar observador. O exercício que estava repetido já foi eliminado e os restantes foram renumerados.
Agradeço pela chamada de atenção.
17 de Março de 2018, 21h35
Mensagem de Susana
Boa noite! Uma função contínua em R nunca poderá ter assíntotas verticais?
18 de Março de 2018, 10h34
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Susana,
Para encontrar as assíntotas verticais, o primeiro passo é sempre ver o domínio da função. Só se a função for descontínua, é que se averigua a possibilidade de existirem assíntotas verticais nos pontos de descontinuidade. Como tal, se uma função for contínua em `RR` não terá de certeza esse tipo de assíntotas. Como é óbvio, isso não invalida que possa ter assíntotas não verticais, que podem ser encontradas quando se estudam os limites da função, quando esta tende para infinito.
22 de Março de 2019, 10h49
Mensagem de Ricardo
Existem assíntotas não verticais numa função com domínio R+?
22 de Março de 2019, 15h22
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Ricardo,
Podem existir ou não, terá que se fazer o estudo para ficarmos a saber se essas assíntotas existem. Em todo o caso, tendo em conta que o domínio da função é `RR^+`, se existirem assíntotas não verticais, será apenas uma e poderá ser encontrada quando se calcula o limite da função quando `x` tende para mais infinito.
18 de Maio de 2019, 17h07
Mensagem de Andreia
Boa tarde! Quando se está a calcular as assíntotas verticais numa função definida por ramos, em que um ramo está x≤a e outro x>a, é necessário calcular o limite à esquerda e à direita de a ou só à direita?
19 de Maio de 2019, 08h50
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Andreia,
É indiferente se o sinal da desigualdade inclui o igual ou não, é sempre necessário, quando calculamos as assíntotas verticais numa função por ramos, calcular o limite à esquerda e à direita do ponto de descontinuidade. Mas se o objetivo é apurar se existem assíntotas verticais e já provaste que existe quando calculavas o limite à esquerda, então não é necessário voltar a calcular o limite à direita, uma vez que já provaste que existe uma assíntota. Espero ter sido esclarecedor.
25 de Maio de 2020, 23h06
Mensagem de Dean Rodelo
Se já sei que a reta de equação y=mx+b é assíntota ao gráfico de f em +oo, em cálculos de limites que envolvam f, quando x tende para +oo, posso substituir f pela equação da assíntota?
26 de Maio de 2020, 10h00
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Dean,
Parece-me que sim, pelo menos, aquilo que diz faz sentido. Se a reta é uma assíntota obliqua da função quando `x -> +oo`, então o limite da função estará muito perto da imagem da reta. No entanto, não consigo garantir que isso seja possível sem ver o exercício em questão. Isto porque pode haver algo no enunciado que não nos permita fazer aquilo que pretende.
23 de Julho de 2020, 16h04
Mensagem de João
Olá boa tarde,
Tenho uma dúvida: ao calcular o m(declive), a condição normal é Limite de F(X)/X certo? Ou seja, limite da função a dividir por X. A minha dúvida é se é possível calcular o m apenas fazendo Limite F(X), ou seja, da função apenas, sem ter que dividir por X. Porque eu já vi alguns exercícios de funções exponenciais, que calcularam o declive apenas fazendo limite da função sem dividir por X.
23 de Julho de 2020, 16h26
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Só para que fique claro, aquilo que pretendes é calcular o declive da reta que corresponde a uma assíntota não vertical de uma determinada função. A equação dessa assíntota é: `y=mx+b`. Quanto ao declive desta reta, este é sempre calculado com a seguinte fórmula: `m=lim_(x->oo) f(x)/x`. Para entenderes melhor a razão de ser desta fórmula, aconselho-te a visitar a página que explica as assíntotas obliquas.
15 de Outubro de 2020, 08h17
Mensagem de Miguel Nunes
Bom dia, gostaria de saber como é representar o gráfico de uma A.V. cujo domínio da função é: R/{-1 e 0 }?
15 de Outubro de 2020, 11h08
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Miguel,
Isso vai depender da expressão analítica da função.
Tendo em conta que a função tem dois pontos de descontinuidade, a função poderá ter quatro assíntotas verticais diferentes, ou seja, uma à esquerda e à direita de cada um desses dois pontos. Mas, dada a natureza da função, até pode acontecer que ela não tenha nenhuma assíntota. Cada caso é um caso, para poder representar o seu gráfico terás que estudar a existência de limites à esquerda e à direita de cada um desses pontos e verificar se a função tende para mais ou menos infinito nesses locais.
06 de Janeiro de 2021, 17h10
Mensagem de Gonçalo Ferreira
Olá! Sabe-me dizer quando é que nós conseguimos saber que uma função não tem assintotas horizontais olhando apenas para ela? É que eu fiz um exercício que estava relacionado com isso, se não me engano falava do domínio, só que não percebi a explicação. Agradeço se me conseguir ajudar!
06 de Janeiro de 2021, 18h06
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Gonçalo,
Quando dizes olhando apenas para a função, parto do principio que te referes à sua expressão algébrica, porque olhando para o gráfico é fácil tirar esse tipo de conclusão. Para que uma função tenha assíntotas horizontais, o seu domínio terá que tender para mais ou menos infinito. Por exemplo, uma função cujo domínio seja `[1,8]` não poderá ter assíntotas horizontais.
11 de Janeiro de 2021, 14h49
Mensagem de Carolina Lucas
Boa tarde, sabe-me esclarecer se numa função definida por ramos, é preciso estudar a continuidade no ponto que separa os ramos antes de estudar a existência de assintotas verticais?
Muito obrigada pela ajuda!
11 de Janeiro de 2021, 19h19
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Carolina,
Para calcular as assíntotas verticais, não é necessário estudar a continuidade da função, no ponto que separa os ramos. Mas, nada te impede de o fazer. Se eventualmente chegares à conclusão que a função é contínua no ponto de mudança de ramo, então de certeza que não existe nenhuma assíntota vertical nesse ponto.
14 de Março de 2022, 16h01
Mensagem de Raquel Coelho
Boa tarde. Tenho um exercício em que, ao calcular m para verificar a existência de assintotas não verticais, não obtenho o mesmo valor para +inf e -inf. Ou seja, para +inf obtenho +inf mas para -inf obtenho 0. Nestes casos consideramos o valor do 0 e verificamos b a seguir? Consideramos que tem assintota não vertical mesmo que um dos limites tenha dado inf?
obrigada.
15 de Março de 2022, 11h11
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Raquel,
É perfeitamente normal, quando calculamos a existência de assíntotas não verticais, obter valores diferentes à esquerda e à direita. Se ao calcular o valor de `m`, obtermos infinito, é porque não existe assíntota. Se obtivermos zero, então trata-se de uma assíntota horizontal. Nesse caso avançamos para o cálculo de `b` para obter a equação da reta da assíntota.
10 de Junho de 2025, 15h37
Mensagem de Beatriz A.
Boa tarde,
No exercício 1, resolvi de maneira diferente.
Fiz lim [f(x)+x] + lim (1), reduzi f(x) e x ao mesmo denominador, resultando em lim [f(x)/x] + 1, o que equivale a m+1.
Já sabemos que m = -1, devido à expressão analítica fornecida, pelo que:
lim [f(x)/x] + 1 = m+1 = -1+1 = 0
Esta forma está correta também?
11 de Junho de 2025, 18h50
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Beatriz,
Não está correto, porque estás a dividir `f(x)` por `x`, quando isso não estava no enunciado. Ou seja, estás a alterar o valor da expressão. A forma correta é aquela que é explicada no vídeo, O limite pedido correponde à diferença entre o valor da função e a reta que representa a assíntota. Por definição, essa diferença é zero quando `x` tende para menos infinito.
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