Introdução às funções racionais - homográficas.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Uma função, `f`, real de variável real (r.v.r.), chama-se função racional se poder ser representada por um polinómio ou pelo quociente entre dois polinómios, sendo o divisor um polinómio não nulo.
Uma função r.v.r. diz-se uma função homográfica se a sua expressão analítica é da forma `f(x) = (ax + b)/(cx + d)`.
A representação geométrica duma função homográfica é uma Hipérbole Equilátera com as assíntotas paralelas aos eixos coordenados.
Explicação da matéria
Duração: 14:24
Duração: 10:37
Exercícios resolvidos
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23 de Abril de 2016, 21h02
Mensagem de Raquel
g(x) = x^2+3x-1 não percebi como é que pode ser uma função racional, porque normalmente no denominador tem que estar x e nessa função o denominador é apenas 1.
Se essa expressão é função racional então f(x)=5x/2 também é... e sempre me explicaram que não podia ser.
25 de Abril de 2016, 09h47
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Raquel,
Existe aqui alguma confusão da tua parte. A função que apresentas: `g(x) = x^2+3x-1` é uma função racional (também é um polinómio). É verdade que normalmente as funções racionais são representadas como o quociente de dois polinómios. Mas, para ser função racional não é necessário existir uma variável no denominador, pode ser apenas uma constante como o número 1. Em conclusão, todos os polinómios são funções racionais, mas nem todas as funções racionais são polinómios!
25 de Abril de 2016, 18h27
Mensagem de Raquel
Já entendi obrigada pelo esclarecimento.
19 de Maio de 2016, 18h32
Mensagem de Nelson
Olá... gostaria que me esclarecesse um pouco mais sobre a equação homográfica.
20 de Maio de 2016, 08h54
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Nelson,
Como não colocas nenhuma dúvida em concreto a única coisa que posso esclarecer são algumas generalidades sobre as funções homográficas. Na introdução já vem referido qual é a sua expressão analítica. Sendo `a`, `b`, `c`, `d` números reais, tais que `ad!= bc` e cujo domínio é `]-oo,-d//c[ uu ]-d//c,+oo[`. A função anula-se para `x=-b//a` e toma o valor `y = b//d` para `x = 0`, sendo `A(-b/a, 0)` e `B(0, b/d)` os pontos de interseção da curva com o eixo das abcissas e das ordenadas, respetivamente. A função homográfica deverá ser estritamente crescente ou decrescente no domínio em que é definida, consoante o resultado de `ad-bc` for positivo ou negativo e não pode evidentemente apresentar máximos ou mínimos relativos. A função possui uma assíntota horizontal de equação `y=a//c` e outra vertical de equação `x=-d//c`.
22 de Junho de 2016, 12h40
Mensagem de Natercio
O que significa |R \ {-1} ?
23 de Junho de 2016, 14h54
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Natercio,
Quando estamos a falar do conjunto `RR` referimo-nos a todos os números Reais, isto é, números racionais e irracionais, por exemplo `{-2; 0; 10//3; pi; sqrt(6}; 4,4}`. Ao mencionar o conjunto `RR\\{-1}`, estamos a contemplar todos os números Reais excepto o `-1`. Portanto, a barra significa excepto ou excluido.
18 de Janeiro de 2017, 22h03
Mensagem de Cat
Relativamente à sua resposta ao Nélson, tenho uma dúvida. Não consegui entender bem a parte onde diz que a "função se anula para x=-b/a e toma o valor de y=b/d". Como assim se anula? É quando a função interseta algum dos eixos? :/
19 de Janeiro de 2017, 09h06
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Cat,
Quando em linguagem matemática se utiliza a expressão "a função anula-se", isso significa que a função toma o valor zero nesses pontos, ou seja, é o local onde a função interseta o eixo das abcissas (`x`). Existem várias formas de designar isso, tal como: os zeros da função ou ainda as raízes da função.
27 de Abril de 2017, 13h15
Mensagem de Chesley Beatriz
Olá, eu gostaria que me falasse da função Homográfica, por favor.
28 de Abril de 2017, 09h17
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Chesley,
Como não colocas nenhuma pergunta concreta, não consigo esclarecer as tuas dúvidas. Vê com atenção o segundo vídeo com a explicação da "Função homográfica e representação gráfica". De seguida, lê o comentário que eu fiz em relação à duvida colocada pelo Nelson, onde faço um pequeno resumo das características principais dessa função.
20 de Março de 2019, 17h42
Mensagem de Ibraimo
Podiam explicar qual é a diferença entre uma função homógrafa e uma função racional?
21 de Março de 2019, 17h48
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Ibraimo,
Antes de mais, deixa-me avisar-te que não se diz função homógrafa, mas sim homográfica. Feito este pequeno esclarecimento, uma função homográfica é um tipo especial de função racional. Sendo assim, todas as funções racionais são homográficas, mas nem todas as funções homográficas são racionais. Para que uma função racional seja considerada homográfica tem que dar para escrever a sua expressão analitica no formato: `(ax+b)/(cx+d)`
22 de Abril de 2020, 16h54
Mensagem de João
A solução do exercício nº 2 não deveria ser a=2, b=-3, c=-3/2? Na resolução ao substituir por um ponto conhecido, neste caso o zero da função igual a (-3,0), deveria originar a expressão 0=2+(b/((-3/2)*(-3)-3) e não 0=2+(b/((-3/2)*(0)-3). Fico na dúvida se estou a raciocinar mal ou se algo me escapou... Obrigado pelas aulas e pela ajuda!
23 de Abril de 2020, 09h29
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Voltei a ver o vídeo e tens toda a razão. Existe um pequeno lapso na altura de substituir o valor de `x` por `-3`. Isso vai fazer com que o cálculo do ponto `b` esteja errado. Obrigado por ter reparado e por ter chamado à atenção. Devemos ter sempre espírito critico e questionar aquilo que nos é dito, mesmo que venha da parte dos nossos professores. Tenho a certeza que essa atitude te vai levar longe. Boa sorte nos teus estudos.
30 de Outubro de 2021, 12h57
Mensagem de Francisco
O que significa um quociente de dois polinómios?
Obrigado.
31 de Outubro de 2021, 10h23
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Francisco,
A palavra quociente significa divisão. Assim sendo, o quociente de dois polinómios acontece quando efetuamos a divisão entre dois polinómios, por exemplo:
Polinómio A: `x^2-3`
Polinómio B: `x^2+5x`
Quociente A/B: `(x^2-3)/(x^2+5x)`
02 de Abril de 2022, 11h01
Mensagem de Marcos
Ainda tenho a dúvida de diferenciar função homográfica e racional.
Por exemplo: (x^2+4x)/(2x-1) é racional ou homográfica?
03 de Abril de 2022, 09h19
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Marcos,
Só para que fique claro, a função homográfica é um tipo de função racional. Isto é, existem vários tipos de funções racionais e a homográfica é um desses tipos. Portanto, qualquer função homográfica também é uma função racional. Posto este esclarecimento, para uma função ser considerada homográfica tem de ser representada da seguinte forma: `f(x)=(ax+b)/(cx+d)`, em que o denominador é obrigatoriamente um polinómio de primeiro grau e o numerador terá que ser um polinómio de grau 1 ou grau 0. No exemplo que apresentas, o numerador é um polinómio de grau 2, logo essa função não é considerada como sendo uma função homográfica. Mas como é o quociente de duas funções polinomiais então é uma função racional. Espero que tenhas ficado esclarecido.
03 de Abril de 2022, 10h28
Mensagem de Marcos
Obrigado. Entendi melhor.
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