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Sucessões limitadas. Determinar os minorantes e majorantes.

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Aula Nº: 3 / Total: 7
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Introdução

Uma sucessão diz-se limitada quando o conjunto dos seus termos tem majorantes e minorantes, ou seja, quando é majorada e minorada.

O estudo da monotonia de uma sucessão poderá facilitar a classificação de uma sucessão em limitada e não limitada mas as situações são variadas e as sucessões podem não ser monótonas e ser limitadas, tal como podem ser monótonas e ser limitadas, tal como podem ser monótonas e não ser limitadas (por não serem majoradas ou minoradas). Muitas vezes, a escrita do termo geral numa outra forma, ou a representação gráfica são boas opções para investigar se a sucessão é ou não limitada.




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Foram feitos 10 comentários/dúvidas.
21 de Julho de 2016, 12h40

Mensagem de bongo

Durante o cálculo não consigo determinar o minorante nem o majorante! Será que se escolhe aleatoriamente?

22 de Julho de 2016, 10h14

Mensagem de Vitor Nunes

Olá bongo,
Normalmente não existe apenas um minorante e um majorante. Aquilo que existe é um conjunto de números que são designados por majorantes ou minorantes. Por exemplo, se uma sucessão for limitada é porque ela é minorada e majorada, ou seja, existe um conjunto de números, tais que, os termos dessa sucessão são sempre superiores ou inferiores respetivamente aos minorantes e majorantes. O processo de cálculo é feito por via analítica. Existem várias formas de calcular esses valores, sendo o mais comum a utilização de um processo conhecido como enquadramento.

27 de Fevereiro de 2017, 16h44

Mensagem de Tiago

Boas, tenho uma sucessão: un=(4n-3)/2. Sei que ela é crescente, logo o primeiro termo é minorante. Como descobrir o majorante? Eu penso que se divide o numerador pelo denominador, mas como o divisor não tem n... Pode-me ajudar sff.

28 de Fevereiro de 2017, 20h55

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Tiago,
Normalmente só respondo a dúvidas que estejam relacionadas com exercícios presentes na página. No entanto, vou abrir uma exceção. De facto, a sucessão que indicas é monótona crescente. Logo é minorada e o primeiro termo faz parte do conjunto dos minorantes. Mas, como a sucessão não é limitada, ou seja, não é convergente mas sim divergente, à medida que o `n` tende para mais infinito o valor da sucessão também tende para mais infinito. E assim sendo, a sucessão não é majorada, logo não existem majorantes. Para demonstrar isso, basta calcular o limite da sucessão.

09 de Janeiro de 2018, 15h50

Mensagem de Inês Falcão

Olá, uma coisa que não percebo é: quando é que as sucessões não são limitadas?
Como é que sabemos se é limitada ou não?
Sei que apenas é limitada se tiver majorantes e minorantes! Mas tem sempre ou não? Obrigada.

11 de Janeiro de 2018, 09h33

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Inês,
Um sucessão só é limitada se tiver majorantes e minorantes. Mas, nem todas as sucessões são majoradas ou minoradas. Por exemplo, na sucessão: `u_n = 2n`, experimenta substituir o `n` por números naturais, vais verificar que obtens números cada vez maiores. Assim sendo, esta sucessão, apesar de ter minorantes, não tem majorantes, logo não é limitada! Existem várias técnicas utilizadas para saber se uma sucessão é limitada ou não, uma das mais utilizadas consiste em tentar enquadrar a sucessão entre dois valores, se isso for possível, então é limitada.

05 de Junho de 2018, 20h49

Mensagem de Carla R.

Olá!
Sendo Un uma sucessão crescente, U1 é o minorante. Agora, fazendo o limite da sucessão esta não tende para infinito pelo que tem um majorante. Como o calculo analiticamente? Através da divisão do numerador pelo denominador ou há outra forma?
Aguardo resposta.

06 de Junho de 2018, 08h58

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carla,
Existem várias técnicas para isso. O cálculo do limite das sucessões implica por vezes levantar indeterminações e isso faz-se na maioria das vezes através dos chamados limites notáveis. No entanto, cada caso é um caso, não sendo possível explicar aqui todas as formas que existem para calcular o limite de uma sucessão.

03 de Março de 2019, 18h08

Mensagem de Cláudia

Boa tarde, no exercício 10 (b) (ii), era possível mostrar analiticamente que a sucessão é apenas majorada ou é só a minha falta de jeito?

04 de Março de 2019, 17h36

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Cláudia,
Tendo em conta que a sucessão é uma restrição da função `f` ao conjunto `N`, e que esta última é uma função quadrática com a concavidade voltada para baixo, então a sucessão possui de certeza um conjunto de majorantes. Isto é mais ou menos óbvio, visto que a função possui um máximo absoluto. Para encontrar analiticamente esse ponto, basta encontrar o máximo da função. Para conseguir isso podemos calcular o seu vértice através da fórmula `V((-b)/(2a),(-Delta)/(4a))`.

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