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O que é o declive de uma reta?

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O declive é utilizado para medir a inclinação da reta em relação ao eixo das abcissas (eixo do `x`). Por exemplo, uma reta com declive 2, em linguagem corrente pode ser explicado da seguinte forma: por cada duas unidades que a reta "sobe" na vertical, ela "avança" uma unidade na horizontal.

declive de uma reta

Existem várias formas de determinarmos o valor desse declive:

  • Se conhecermos a equação da reta, `y = mx + b`, então o valor do declive é `m`. Por exemplo, na equação `y = 3x + 1` o declive desta reta é `3`.

  • Se nos forem dados dois pontos por onde a reta passa, podemos utilizar a seguinte fórmula: `m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)` . Por exemplo, uma reta que passe pelos pontos `A(4, 7)` e `B(2, 3)` o seu declive pode ser calculado fazendo a seguinte operação: `m=(7-3)/(4-2) hArr m=4/2 hArr m=2` . Diz-se então que tem declive 2.

  • Pode ainda ser calculado, se conhecermos o menor ângulo positivo que a reta faz com o eixo das abcissas. Basta para isso utilizar a fórmula `m = tg alpha`. Por exemplo, se o ângulo for 45º então `m = tg(45º) hArr m = 1`. Possui assim declive 1.

  • Por fim, pode ainda ser obtido se conhecermos o vetor diretor da reta, através da seguinte relação: `m = u_2/u_1`. Por exemplo, se o vetor de uma reta tiver as seguintes coordenadas `vec u = (2,8)` então o declive calcula-se fazendo `m = 8/2 hArr m = 4`.
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NUNES, Vitor F. R. "O que é o declive de uma reta?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/declive-reta.php, acedido em 17 de Setembro de 2021.



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Foram feitos 14 comentários/dúvidas.
22 de Janeiro de 2019, 10h55

Mensagem de Carlos

Bom dia,
Não fazia ideia que havia tantas formas diferentes para encontrar o declive de uma reta. Se eu tiver um exercício em que é necessário encontrar a inclinação de uma reta, como é que eu sei qual das técnicas é que devo utilizar?

22 de Janeiro de 2019, 17h56

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carlos,
A escolha do método para calcular o declive da reta depende do enunciado do problema, mais concretamente, depende do tipo de dados que lhe são fornecidos no exercício em causa. Se porventura, conhecer a expressão algébrica que define a reta, opta por um método, se pelo contrário lhe for dado os graus de inclinação da reta, então opta por outro, e assim por diante...

24 de Outubro de 2019, 01h42

Mensagem de Moises Joaquim Jeyamby

Muito obrigado pela ajuda... tenho um trabalho de geometria analitica e esse resumo ajudou-me muito.... mas... muitas vezes nao sabemos como podemos fazer para ajudar a difundir essa pagina ou os conhecimentos que pudemos colher deste material. o que pode me sugerir... ja partilhei no meu status do whatsapp e em grupos de estudo do whatsapp... o que mais posso fazer para mostrar o quão estou grato? sem mais, agradeço e desejo sucessos ao grupo.

24 de Outubro de 2019, 09h36

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Moisés,
Obrigado pela divulgação, não precisas de fazer mais nada. Quem me dera que todos os alunos tivessem a mesma preocupação do que tu. Boa sorte nos teus estudos!

26 de Outubro de 2019, 10h35

Mensagem de Luísa Brito

O que significa um declive negativo?

27 de Outubro de 2019, 07h40

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Luísa,
A melhor forma de responder à sua pergunta é recorrer a uma analogia. Imagine uma reta como se fosse uma estrada. Se o declive for nulo, então a estrada é plana. Se o declive for positivo, é porque a estrada é a subir. Por fim, se o declive for negativo, a estrada é a descer. Espero ter ajudado!

15 de Abril de 2020, 18h45

Mensagem de João Paulo

Olá boa tarde,
Eu tenho um exercício e a resolução em que o mesmo pede “a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de f que tem declive máximo". Eu sei que o declive máximo da tangente ao gráfico de f corresponde ao valor máximo da derivada de f, que é a primeira derivada, mas na resolução do exercício eles fazem a 2ª derivada. Não consigo entender o porquê de estar certo, se é o declive máximo, então deve ser calculada apenas a 1ª derivada e achar o máximo ou não?

16 de Abril de 2020, 09h28

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João Paulo,
O teu raciocínio está parcialmente certo. Mas repara no seguinte, a primeira derivada pode ser utilizada para encontrar o máximo de uma função. De igual modo, a segunda derivada pode ser utilizada para encontrar o máximo da função que corresponde à primeira derivada. Portanto, está a ser utilizada a segunda derivada precisamente para saber qual é o valor máximo do declive da reta tangente. Espero que tenha ficado claro.

23 de Abril de 2020, 03h48

Mensagem de Ana Beatriz Silva

Olá!
Gostaria de saber se me podia ajudar.
Estou bastante confusa com um exercício que tem como objetivo escrever a equação de uma reta que passe pelo ponto (-5,3) e que tenha ordenada na origem igual a 9.
Agradecida pela atenção.

23 de Abril de 2020, 08h57

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ana,
Não vou resolver, mas posso dar-te umas dicas. A equação reduzida da reta é `y=mx+b`. Como sabemos que a ordenada na origem é 9, isso significa que podemos substituir o `b` por 9, ficando `y=mx+9`. Neste momento só falta encontrar o valor do declive. Para isso, basta substituir na equação os valores do ponto por onde a reta passa, ou seja, `x=-5` e `y=3`. Isto vai dar origem a `3 = mxx(-5) + 9`. Quando chegares aqui, o resto é fácil, basta resolver em ordem a `m` e assim descobrir o declive. No final é só escrever a equação da reta com os valores de `b` e `m` certos.

20 de Junho de 2020, 12h15

Mensagem de Raquel Fidalgo Soares

Boa tarde,
Tenho um ponto A(8,4,0) e B(6,10,3) e quero saber as coordenadas do ponto G. Sei que AB // AG. Pesquisei na internet e diz que m(AB) = m(AG). A minha questão é, como é que se calcula o declive no espaço, ou se existe declive no espaço? Não vejo outra forma de resolver o exercício.
Muito obrigada pela atenção. Com os melhores cumprimentos,
Raquel Soares

20 de Junho de 2020, 15h52

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Raquel,
O conceito de declive é mais utilizado quando estamos a trabalhar com retas no plano. Neste caso, em que as retas são no espaço, o ideal é resolver esta questão, utilizando o conceito de vetor diretor. Como as retas são paralelas, forçosamente terão que ter o mesmo vetor diretor. Assim sendo, encontra o valor de `vec(AB)` e depois calcula as coordenadas do ponto `G`, de forma a ter o mesmo vetor diretor.

25 de Novembro de 2020, 15h43

Mensagem de Maria

Boa tarde, após calcular o declice como calculamos o b?

26 de Novembro de 2020, 08h42

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Maria,
Vamos supor que já calculaste o declive e que descobriste que `m=2`. Pela análise do gráfico consegues, de certeza, obter as coordenadas de, pelo menos, um dos pontos por onde a reta passa. Vamos então supor que a reta passa pelo ponto `(5,3)`. Posto isto, basta substituir na equação reduzida da reta `y=mx+b` os valores encontrados. Neste caso, vai ficar `3=2xx5 + b`. Agora é só resolver esta equação e assim descobrir o valor de `b`.

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