O que são extremos absolutos e relativos?

Todos nós já passamos por pontos altos e baixos na vida. Existem alturas em que parece que o mundo se uniu para nos tramar e tudo corre mal. Felizmente, existem momentos em que ocorre o oposto e somos invadidos pela felicidade. Estes pontos altos e baixos são frequentes em diversas situações do dia a dia. Como a matemática é muitas vezes utilizada para solucionar problemas reais, existem várias ferramentas para detetar esses pontos. Para poder responder à pergunta que nos foi colocada, vamos recorrer a um pequeno exemplo:

A distinção entre extremos absolutos e relativos é relativamente simples. Um extremo absoluto, não é mais que o local onde a função atinge o ponto mais alto ou o ponto mais baixo. No gráfico anterior podemos ver que o ponto mais alto é o ponto `a`, este ponto é designado por máximo absoluto. Em contrapartida, o ponto `x_5` representa o ponto mais baixo, designado por mínimo absoluto. No entanto, existem outros pontos onde a função atinge um mínimo local, por exemplo, o ponto `x_2` é o mais baixo naquela "vizinhança", assim sendo, recebe o nome de mínimo relativo. Por outro lado, o ponto `x_6` é o mais alto junto dos seus vizinhos e assim sendo recebe o nome de máximo relativo. Uma função pode ter vários máximos e mínimos relativos, mas como é evidente só pode ter um máximo e um mínimo absoluto.

Como é que isto é útil na prática?

Vamos supor que o gráfico acima representa as vendas de uma empresa ao longo do ano, sendo que, o eixo horizontal representa a passagem dos meses e o eixo vertical (que não está visível) representa o volume de vendas. Neste caso, é importante saber em que alturas do ano é que as vendas atingem um pico máximo ou mínimo. Com esse conhecimento podemos dar ordem à produção para intensificar o trabalho caso se preveja um ponto alto nas vendas. Pelo lado oposto, pode-se tornar necessário dispensar trabalhadores ou afetá-los a outras atividades, isto se soubermos com antecedência, que estamos prestes a baixar as vendas significativamente. Existem diversos problemas de otimização em que é necessário descobrir o local onde a função atinge um máximo ou um mínimo. Tanto pode ser para achar o lucro máximo de uma empresa, bem como, para encontrar a despesa mínima para produzir determinado produto. A matemática permite-nos responder com eficácia a todas essas questões!

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