Como calcular o fatorial de um número?

Em matemática, para representar o fatorial de um número natural, (não se calcula o fatorial de números não naturais), utilizamos o ponto de exclamação. Por exemplo, para representar o fatorial do número cinco, escrevemos `5!`. Mas que operação é esta? E como é que procedo para saber o valor do fatorial de cinco? É muito simples, basta multiplicar o cinco por cada um dos números naturais menores que ele próprio, ou seja, `5! = 5 xx 4 xx 3 xx 2 xx 1 = 120`

Mas, para que serve o fatorial de um número?

Normalmente, o fatorial de um número natural é utilizado em matemática para o cálculo de combinações. Vamos supor que cinco pessoas pretendem formar uma fila, de quantas formas diferentes se pode formar a referida fila? Ora bem, na primeira posição podemos escolher qualquer uma das cinco pessoas, na segunda posição da fila já só temos quatro escolhas possíveis, na terceira posição podemos escolher entre três pessoas e assim por diante. Então tendo em conta o resultado apresentado anteriormente, uma fila de 5 pessoas pode ser organizada de 120 maneiras diferentes. Parece muito, não é?

Qual é o valor do fatorial de zero?

Já foi referido anteriormente que só faz sentido calcular o fatorial de um número natural. Tendo em conta que o zero não faz parte do conjunto dos números naturais, não deveria ser necessário responder a esta pergunta. No entanto, os matemáticos sentiram necessidade, em alguns cálculos mais complexos, de conhecer o valor do fatorial de zero e chegaram à conclusão que o seu valor é `1`. Este resultado pode parecer um pouco estranho. Mas, vamos retomar o exemplo de que falamos acima. Já vimos que para organizar uma fila com 5 pessoas, isso pode ser feito de 120 maneiras diferentes. E se a fila for composta só por uma pessoa? Nesse caso ficará `1! = 1`, e portanto só pode ser feita de uma forma. E se a fila de pessoas não tiver ninguém? Então neste caso, à semelhança do exemplo anterior, a fila só pode ser organizada de uma única forma, ou seja, a fila vazia e assim `0! = 1`.

Por que motivo na calculadora, alguns fatoriais dão erro?

As calculadoras além da limitação de memória, também têm uma limitação no espaço de armazenamento e o maior número que conseguem guardar é `10^100`. Por esta razão, o maior fatorial que a calculadora consegue calcular é `69!`, isto porque o fatorial de 70 já ultrapassa `10^100`. Parece incrível, mas os fatoriais crescem de forma tão rápida, que mesmo o fatorial de um pequeno número produz um número gigantesco. Já vimos que `5! = 120`, mas e se quisermos calcular o fatorial de 120? Então nesse caso vamos ter que recorrer a um computador, porque a calculadora não possui capacidade de cálculo suficiente. Em jeito de curiosidade deixo aqui o valor exato desse fatorial:

120!=6689502913449127057588118054090372586752746333138029810295671352301633557244962989366874165271984981308157637893214090552534408589408121859898481114389650005964960521256960000000000000000000000000000

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