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O que é uma função par?

pequenas respostas para grandes perguntas

Uma função designa-se por PAR, quando para qualquer valor de `x` pertencente ao seu domínio, o simétrico de `x` tem a mesma imagem. Em linguagem matemática: `f(x) = f(-x) , x in D_f`. Para os não entendidos, isto pode parecer algo confuso, por isso vou exemplificar para ajudar a perceber:

função par

Este gráfico de uma função quadrática (`y=x^2`) mostra um exemplo de uma função par. Aqui podemos ver que tanto o objeto 2 como o seu simétrico têm imagem 4, em linguagem matemática: `f(2) = f(-2) = 4` . Atenção, de acordo com a definição, não basta que existam dois objetos simétricos com a mesma imagem! Para que uma função seja considerada par, todos os objetos e respetivos simétricos têm que ter a mesma imagem.

Estas funções tem assim a particularidade de serem simétricas em relação ao eixo das ordenadas (`O_y`). Se dobrarmos a folha na vertical vemos que o gráfico do lado esquerdo da folha se sobrepõe ao gráfico do lado direito.

Se uma função não for par então é ímpar?

Este é um erro muito frequente por parte dos alunos: "se um número não é par é porque é ímpar, logo se uma função não é par então é ímpar". Mas nas funções, isso não é verdade. Existe uma definição totalmente diferente para função ímpar, que está explicada num outro tópico.

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NUNES, Vitor F. R. "O que é uma função par?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/funcao-par.php, acedido em 23 de Julho de 2024.



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Foram feitos 7 comentários/dúvidas.
21 de Dezembro de 2020, 00h49

Mensagem de João Santos

Boa noite! Estou estudando sobre funções e estou com uma questão na qual devo demonstrar que a soma de duas funções pares (com o mesmo domínio) resulta numa função par. Porém, para essa demonstração, não consegui encontrar uma representação genérica da função par. Por exemplo, um número par qualquer pode ser representado por 2x. Um número ímpar qualquer, 2x-1... E uma função par qualquer, como representá-la?

21 de Dezembro de 2020, 16h59

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
É uma excelente pergunta. Mas infelizmente também não lhe sei responder. Estive a pesquisar informação sobre o assunto e não encontrei nada. Mas parto do princípio que pode utilizar o seguinte raciocino: seja `f(x)=f(-x)` e `g(x)=g(-x)` vamos tentar provar que `f(x)+g(x)` é uma função par.

21 de Dezembro de 2020, 17h17

Mensagem de João Santos

Olá, Vitor Nunes! Muitíssimo obrigado pela resposta! Continuarei investigando sobre este assunto e acredito que muito em breve encontrarei a resposta para esta questão. Na minha lista de exercícios, é solicitado que eu prove outros teoremas, mas para tanto, terei de resolver este primeiro. Agradeço a disponibilidade e presteza, com certeza estarei indicando tua página aos meus colegas estudantes!! Boas festas!!!

22 de Dezembro de 2020, 13h04

Mensagem de Kika

Olá, gostaria de saber em relação aos limites de funções pares. Tem alguma regra específica? Lim de x quando tende para +& (h(x)-2x)=0 então o limite quando tende para -& de h(x) vai ser igual a.. (?)

22 de Dezembro de 2020, 17h49

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Kika,
Se uma função é par, então ela é simétrica em relação ao eixo do `y`. Logo, se conheces o limite da função quando `x` tende para mais infinito, isso significa que quando `x` tende para menos infinito, o limite terá quer ser exatamente o mesmo.

31 de Março de 2021, 21h18

Mensagem de Afonso

Olá, tenho uma dúvida em relação às funções pares, gostaria de saber se todas as funções do 2.º grau são pares?

01 de Abril de 2021, 09h30

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Afonso,
A resposta é não. A função de segundo grau tem como gráfico uma parábola. Essa parábola é simétrica em relação à reta vertical que passa no seu vértice. Assim sendo, as funções de segundo grau só são pares quando o vértice da parábola se situa no eixo das ordenadas, ou seja, no `y`.

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