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O que é uma função sobrejetiva?

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Antes de mais, vou começar por explicar, que uma função é uma correspondência entre dois elementos de diferentes conjuntos. Vamos supor que, por exemplo, no conjunto A temos o nome dos alunos de uma turma (vamos admitir que todos os alunos têm nomes únicos), e no conjunto B temos várias cores que podem ser escolhidas. Posto isto, é relativamente fácil fazer um diagrama que faz corresponder a cada aluno do conjunto A a cor dos seus olhos do conjunto B. Esta correspondência que acabamos de criar é uma função.

Mas trata-se de uma função sobrejetiva?

Em linguagem matemática dizemos que uma função é sobrejetiva (ou função sobrejetora) se:

`AA y in B, EE x in A: f(x) = y`

Mas qual é o significado disto? Dito de forma simples, cada um dos elementos pertencentes ao conjunto de chegada B, tem que estar ligado a um elemento do conjunto de partida A. Isto é, no presente exemplo, não podem existir cores no conjunto B, que não correspondam à cor dos olhos de pelo menos um dos alunos do conjunto A. Dada a grande variedade de cores que existe, fica claro que a função não é necessariamente sobrejetiva. Isto porque, podem existir uma ou mais cores que não correspondem a nenhum dos alunos dessa turma. Repare no seguinte diagrama, tanto a cor Amarelo como a cor Branco não têm correspondência com nenhum aluno. Logo, não se trata de uma função sobrejetiva.

diagrama de uma função não sobrejetiva

E não podiam dar um exemplo de uma função sobrejetiva?

Vamos supor que o conjunto A do exemplo supracitado não sofre alteração, mas que o conjunto B, passa a conter apenas as cores Azul, Cinzento e Verde. Então neste caso, já estaríamos na presença de uma função sobrejetiva, visto que, essas três cores estão presentes nos olhos de um ou mais alunos dessa turma.

diagrama de uma função sobrejetiva

E se estivermos a trabalhar com uma função numérica de variável numérica?

O conceito não muda. Temos que analisar se existe algum elemento do conjunto B, que não esteja ligado a nenhum elemento do conjunto A. Tendo em conta tudo o que foi referido anteriormente, nas funções sobrejetivas, o contradomínio da função (o conjunto de todas as imagens) é igual ao conjunto de chegada.

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NUNES, Vitor F. R. "O que é uma função sobrejetiva?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/funcao-sobrejetiva.php, acedido em 14 de Junho de 2025.



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Foram feitos 6 comentários/dúvidas.
24 de Abril de 2021, 15h01

Mensagem de Mariana

Como sabemos que uma função é sobrejetiva, tendo só a representação gráfica?

24 de Abril de 2021, 16h23

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Mariana,
Quando referes a representação gráfica, parto do princípio que te referes a um gráfico cartesiano. Nesse caso, só é possível indicar que a função é sobrejetiva (ou não), se previamente estiver indicado o conjunto de chegada. Sem essa indicação, não podemos afirmar só a partir do gráfico, se a a função é sobrejetiva.

05 de Janeiro de 2023, 17h48

Mensagem de Susana

Olá.
Como posso provar que a função exponencial é sobrejetiva?
Obrigada!

06 de Janeiro de 2023, 10h48

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Susana,
Uma função exponencial consiste na existência de uma variável independente como expoente de uma constante conhecida. Por exemplo: `f(x)=2^x`. O gráfico desta função mostra-nos que se trata de uma função contínua (crescente no caso da base ser maior que 1). Esta função é sempre injetiva, dado que cada elemento do contradomínio está associado sempre a um e só um elemento do domínio. Quanto à análise da sobrejetividade é necessário conhecer, além da sua expressão algébrica o seu conjunto de chegada, só assim será possível analisar se o conjunto de chegada é igual ao contradomínio.

23 de Maio de 2023, 16h16

Mensagem de Beatriz Santos

A função quadrática é sobrejetiva?

24 de Maio de 2023, 08h54

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Beatriz,
Para conseguir dar essa resposta precisas de conhecer o conjunto de chegada. Isto é, a função tem que estar definida, tens de saber o domínio e o seu conjunto de chegada. Só assim poderás analisar se o contradomínio da função é igual ao conjunto de chegada.

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