O que é uma função sobrejetiva?

Antes de mais, vou começar por explicar, que uma função é uma correspondência entre dois elementos de diferentes conjuntos. Vamos supor que, por exemplo, no conjunto A temos o nome dos alunos de uma turma (vamos admitir que todos os alunos têm nomes únicos), e no conjunto B temos várias cores que podem ser escolhidas. Posto isto, é relativamente fácil fazer um diagrama que faz corresponder a cada aluno do conjunto A a cor dos seus olhos do conjunto B. Esta correspondência que acabamos de criar é uma função.

Mas trata-se de uma função sobrejetiva?

Em linguagem matemática dizemos que uma função é sobrejetiva (ou função sobrejetora) se:

`AA y in B, EE x in A: f(x) = y`

Mas qual é o significado disto? Dito de forma simples, cada um dos elementos pertencentes ao conjunto de chegada B, tem que estar ligado a um elemento do conjunto de partida A. Isto é, no presente exemplo, não podem existir cores no conjunto B, que não correspondam à cor dos olhos de pelo menos um dos alunos do conjunto A. Dada a grande variedade de cores que existe, fica claro que a função não é necessariamente sobrejetiva. Isto porque, podem existir uma ou mais cores que não correspondem a nenhum dos alunos dessa turma. Repare no seguinte diagrama, tanto a cor Amarelo como a cor Branco não têm correspondência com nenhum aluno. Logo, não se trata de uma função sobrejetiva.

E não podiam dar um exemplo de uma função sobrejetiva?

Vamos supor que o conjunto A do exemplo supracitado não sofre alteração, mas que o conjunto B, passa a conter apenas as cores Azul, Cinzento e Verde. Então neste caso, já estaríamos na presença de uma função sobrejetiva, visto que, essas três cores estão presentes nos olhos de um ou mais alunos dessa turma.

E se estivermos a trabalhar com uma função numérica de variável numérica?

O conceito não muda. Temos que analisar se existe algum elemento do conjunto B, que não esteja ligado a nenhum elemento do conjunto A. Tendo em conta tudo o que foi referido anteriormente, nas funções sobrejetivas, o contradomínio da função (o conjunto de todas as imagens) é igual ao conjunto de chegada.

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