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Antes de mais, vou começar por explicar, que uma função é uma correspondência entre dois elementos de diferentes conjuntos. Vamos supor que, por exemplo, no conjunto A temos o nome dos alunos de uma turma (vamos admitir que todos os alunos têm nomes únicos), e no conjunto B temos várias cores que podem ser escolhidas. Posto isto, é relativamente fácil fazer um diagrama que faz corresponder a cada aluno do conjunto A a cor dos seus olhos do conjunto B. Esta correspondência que acabamos de criar é uma função.
Em linguagem matemática dizemos que uma função é sobrejetiva (ou função sobrejetora) se:
`AA y in B, EE x in A: f(x) = y`
Mas qual é o significado disto? Dito de forma simples, cada um dos elementos pertencentes ao conjunto de chegada B, tem que estar ligado a um elemento do conjunto de partida A. Isto é, no presente exemplo, não podem existir cores no conjunto B, que não correspondam à cor dos olhos de pelo menos um dos alunos do conjunto A. Dada a grande variedade de cores que existe, fica claro que a função não é necessariamente sobrejetiva. Isto porque, podem existir uma ou mais cores que não correspondem a nenhum dos alunos dessa turma. Repare no seguinte diagrama, tanto a cor Amarelo como a cor Branco não têm correspondência com nenhum aluno. Logo, não se trata de uma função sobrejetiva.
Vamos supor que o conjunto A do exemplo supracitado não sofre alteração, mas que o conjunto B, passa a conter apenas as cores Azul, Cinzento e Verde. Então neste caso, já estaríamos na presença de uma função sobrejetiva, visto que, essas três cores estão presentes nos olhos de um ou mais alunos dessa turma.
O conceito não muda. Temos que analisar se existe algum elemento do conjunto B, que não esteja ligado a nenhum elemento do conjunto A. Tendo em conta tudo o que foi referido anteriormente, nas funções sobrejetivas, o contradomínio da função (o conjunto de todas as imagens) é igual ao conjunto de chegada.
Foi interessante? Então partilha!NUNES, Vitor F. R. "O que é uma função sobrejetiva?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/funcao-sobrejetiva.php, acedido em 14 de Junho de 2025.
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Como sabemos que uma função é sobrejetiva, tendo só a representação gráfica?
Olá Mariana,
Quando referes a representação gráfica, parto do princípio que te referes a um gráfico cartesiano. Nesse caso, só é possível indicar que a função é sobrejetiva (ou não), se previamente estiver indicado o conjunto de chegada. Sem essa indicação, não podemos afirmar só a partir do gráfico, se a a função é sobrejetiva.
Olá.
Como posso provar que a função exponencial é sobrejetiva?
Obrigada!
Olá Susana,
Uma função exponencial consiste na existência de uma variável independente como expoente de uma constante conhecida. Por exemplo: `f(x)=2^x`. O gráfico desta função mostra-nos que se trata de uma função contínua (crescente no caso da base ser maior que 1). Esta função é sempre injetiva, dado que cada elemento do contradomínio está associado sempre a um e só um elemento do domínio. Quanto à análise da sobrejetividade é necessário conhecer, além da sua expressão algébrica o seu conjunto de chegada, só assim será possível analisar se o conjunto de chegada é igual ao contradomínio.
A função quadrática é sobrejetiva?
Olá Beatriz,
Para conseguir dar essa resposta precisas de conhecer o conjunto de chegada. Isto é, a função tem que estar definida, tens de saber o domínio e o seu conjunto de chegada. Só assim poderás analisar se o contradomínio da função é igual ao conjunto de chegada.
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