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Em que consiste a média harmónica?
pequenas respostas para grandes perguntas
Vamos supor que queremos fazer a viagem de carro de Lisboa ao Porto, cuja distância é 300 km (para facilitar as contas). Vamos ainda partir do principio que a cidade de Pombal fica exatamente a meio do caminho. Se na primeira metade (150 km) da viagem formos a 100 km/h e a partir de Pombal formos a 150 km/h, qual a média da nossa velocidade? Muitos dirão que a média é de 125 km/h, uma vez que essa é a média aritmética.
Média aritmética: `(100+150)/2 = 250/2 = 125`
No entanto está errado! Reparem que a duração desta viagem é de 2h30 ou seja 2,5 horas. Já que para percorrer os primeiros 150 km até Pombal à velocidade de 100 km/h demoramos 1,5 horas. Para percorrer os últimos 150 km à velocidade de 150 km/h demora mais 1 hora, o que perfaz 2,5 horas. Pois bem, se tivéssemos viajado a uma velocidade média de 125 km/h significava que teríamos percorrido 312,5 km. Isto porque 125 X 2,5 = 312,5.
Onde está então o erro? O correto nestas situações é utilizar a média harmónica. E em que é que isso consiste? Dito de forma simples é o "inverso da média dos inversos". Neste caso, calcula-se da seguinte forma:
Média harmónica: `2/(1/100 + 1/150) = 2/(3/300 + 2/300) = 2/(5/300) = 600/5 = 120`
A velocidade média da nossa viagem foi afinal de 120 km/h! Vamos agora verificar se bate certo: 120 X 2,5 = 300.
Atenção: Se a pergunta fosse a seguinte: Numa viagem de 300 km de Lisboa ao Porto viajou-se metade do tempo a 100 km/h e outra metade do tempo a 150 km/h, qual a média da viagem? Neste caso teria que se utilizar a média aritmética e a resposta seria 125 km/h. Da próxima vez que viajar faça bem as contas, para saber se compensa acelerar!
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NUNES, Vitor F. R. "Em que consiste a média harmónica?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/media-aritmetica-harmonica.php, acedido em 22 de Janeiro de 2025.
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04 de Março de 2021, 14h32
Mensagem de Tigerex
Não conhecia este conceito de média harmónica. Resolvi o problema fazendo a média ponderada: (1.5×100+1×150)/2.5 = 120km/h.
04 de Março de 2021, 15h39
Mensagem de Vitor Nunes
Olá,
Sim, também podemos utilizar a média ponderada, mas isso implica calcular primeiro qual é a duração da viagem. O cálculo da média harmónica tem como vantagem não necessitar de efetuar previamente esse cálculo. De qualquer forma, o objetivo deste artigo consiste em fornecer um exemplo, em que a utilização da média aritmética nos conduz a resultados errados.
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