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Em que consiste a média harmónica?

pequenas respostas para grandes perguntas

Vamos supor que queremos fazer a viagem de carro de Lisboa ao Porto, cuja distância é 300 km (para facilitar as contas). Vamos ainda partir do principio que a cidade de Pombal fica exatamente a meio do caminho. Se na primeira metade (150 km) da viagem formos a 100 hm/h e a partir de Pombal formos a 150 km/h, qual a média da nossa velocidade? Muitos dirão que a média é de 125 hm/h, uma vez que essa é a média aritmética.

Média aritmética: `(100+150)/2 = 250/2 = 125`

No entanto está errado! Reparem que a duração desta viagem é de 2h30 ou seja 2,5 horas. Já que para percorrer os primeiros 150 km até Pombal à velocidade de 100 km/h demoramos 1,5 horas. Para percorrer os últimos 150 km à velocidade de 150 km/h demora mais 1 hora, o que perfaz 2,5 horas. Pois bem, se tivéssemos viajado a uma velocidade média de 125 km/h significava que teríamos percorrido 312,5 km. Isto porque 125 X 2,5 = 312,5.

Onde está então o erro? O correto nestas situações é utilizar a média harmónica. E em que é que isso consiste? Dito de forma simples é o "inverso da média dos inversos". Neste caso, calcula-se da seguinte forma:

Média harmónica: `2/(1/100 + 1/150) = 2/(3/300 + 2/300) = 2/(5/300) = 600/5 = 120`

viagem de carro

A velocidade média da nossa viagem foi afinal de 120 km/h! Vamos agora verificar se bate certo: 120 X 2,5 = 300.

Atenção: Se a pergunta fosse a seguinte: Numa viagem de 300 km de Lisboa ao Porto viajou-se metade do tempo a 100 km/h e outra metade do tempo a 150 km/h, qual a média da viagem? Neste caso teria que se utilizar a média aritmética e a resposta seria 125 km/h. Da próxima vez que viajar faça bem as contas, para saber se compensa acelerar!

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NUNES, Vitor F. R. "Em que consiste a média harmónica?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/media-aritmetica-harmonica.php, acedido em 16 de Julho de 2020.



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