Como multiplicar matrizes?

Antes de explicar como multiplicar matrizes é importante entender que só podemos multiplicar matrizes, se o o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Se isto não acontecer, então a multiplicação dessas duas matrizes não é possível. Para que fique claro, repare no exemplo da seguinte imagem:

Não vai ser possível obter o produto destas duas matrizes, porque a primeira (que é um matriz quadrada) possui 2 colunas, enquanto que a segunda (que é uma matriz retangular) possui 3 linhas. Logo a multiplicação de matrizes é impossível neste contexto. Quando multiplicamos dois números, por vezes, ouvimos referir que a multiplicação é comutativa, isto é, posso trocar a ordem dos termos que o resultado é o mesmo. De facto, `4 xx 5 = 5 xx 4`. Mas tal propriedade não é válida quando se trata de multiplicar matrizes, aqui não existe comutatividade. Repare no que acontece, se trocar a ordem das matrizes:

Ao trocar a ordem, verificamos que o número de colunas da primeira matriz é 2, e o número de linhas da segunda matriz também passa a ser 2. Então, nesta situação, já podemos avançar com a multiplicação.

Que passos devem ser seguidos para obter o produto de duas matrizes?

Cada elemento da matriz resultado, vai ser obtido através da soma dos produtos de uma linha da primeira matriz pela coluna da segunda matriz. Para não tornar a explicação demasiado teórica, com o recurso as coordenadas dos elementos das matrizes, vou passar a exemplificar para tornar tudo mais fácil. Para isso, vou utilizar o exemplo dado na última imagem e efetuar as operações passo a passo:

`[[1,2],[0,4],[1,8]] xx [[2,1],[3,4]] = ` `[[1xx2+2xx3,1xx1+2xx4],[0xx2+4xx3,0xx1+4xx4],[1xx2+8xx3,1xx1+8xx4]] =`

`[[2+6,1+8],[0+12,0+16],[2+24,1+32]] =` `[[8,9],[12,16],[26,33]]`

Note que existem diversos tipos de matrizes, e por vezes para simplificar a multiplicação de matrizes, utilizam-se outras técnicas mais rápidas, se estivermos por exemplo na presença de matrizes triangulares.

Neste local poderás colocar os teus comentários e as tuas dúvidas. Todas as mensagens que não estiverem diretamente relacionadas com este tema, ou que eventualmente contenham linguagem considerada imprópria serão removidas.

Consulta a nossa Lista de Perguntas para ficares a conhecer um pouco mais sobre os mais diversos temas relacionados com a matemática. Caso tenhas alguma pergunta (matemática) pertinente, cuja resposta não consigas encontrar facilmente, envia-nos um email através da página Contactar com essa dúvida. Teremos todo o gosto em responder. Na eventualidade de detetares algum erro nas nossas respostas, não hesites em avisar-nos!