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Como multiplicar matrizes?

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Antes de explicar como multiplicar matrizes é importante entender que só podemos multiplicar matrizes, se o o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. Se isto não acontecer, então a multiplicação dessas duas matrizes não é possível. Para que fique claro, repare no exemplo da seguinte imagem:

exemplo de um produto de duas matrizes impossível

Não vai ser possível obter o produto destas duas matrizes, porque a primeira (que é um matriz quadrada) possui 2 colunas, enquanto que a segunda (que é uma matriz retangular) possui 3 linhas. Logo a multiplicação de matrizes é impossível neste contexto. Quando multiplicamos dois números, por vezes, ouvimos referir que a multiplicação é comutativa, isto é, posso trocar a ordem dos termos que o resultado é o mesmo. De facto, `4 xx 5 = 5 xx 4`. Mas tal propriedade não é válida quando se trata de multiplicar matrizes, aqui não existe comutatividade. Repare no que acontece, se trocar a ordem das matrizes:

exemplo de um produto de duas matrizes possível

Ao trocar a ordem, verificamos que o número de colunas da primeira matriz é 2, e o número de linhas da segunda matriz também passa a ser 2. Então, nesta situação, já podemos avançar com a multiplicação.

Que passos devem ser seguidos para obter o produto de duas matrizes?

Cada elemento da matriz resultado, vai ser obtido através da soma dos produtos de uma linha da primeira matriz pela coluna da segunda matriz. Para não tornar a explicação demasiado teórica, com o recurso as coordenadas dos elementos das matrizes, vou passar a exemplificar para tornar tudo mais fácil. Para isso, vou utilizar o exemplo dado na última imagem e efetuar as operações passo a passo:

`[[1,2],[0,4],[1,8]] xx [[2,1],[3,4]] = ` `[[1xx2+2xx3,1xx1+2xx4],[0xx2+4xx3,0xx1+4xx4],[1xx2+8xx3,1xx1+8xx4]] =`

`[[2+6,1+8],[0+12,0+16],[2+24,1+32]] =` `[[8,9],[12,16],[26,33]]`

Note que existem diversos tipos de matrizes, e por vezes para simplificar a multiplicação de matrizes, utilizam-se outras técnicas mais rápidas, se estivermos por exemplo na presença de matrizes triangulares.

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NUNES, Vitor F. R. "Como multiplicar matrizes?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/multiplicar-matrizes.php, acedido em 09 de Dezembro de 2023.



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Foram feitos 2 comentários/dúvidas.
11 de Janeiro de 2021, 09h09

Mensagem de Orlando Domingos Faria

Bom dia, prezados(as).
Escrevo-lhes porque estou com uma dúvida relacionada a multiplicação de matriz. A dúvida é a seguinte: sabendo que a multiplicação de matrizes só é possível se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda, SERÁ QUE É POSSÍVEL MULTIPLICAR UMA MATRIZ LINHA COM QUATRO ELEMENTOS POR UMA MATRIZ COLUNA COM QUATRO ELEMENTOS TAMBÉM?

11 de Janeiro de 2021, 09h13

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Orlando,
Uma matriz linha com quatro elementos, tem 4 colunas.
Uma matriz coluna com quatro elementos, tem 4 linhas.
Logo, o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Assim sendo, é perfeitamente possível fazer este tipo de multiplicação.

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