Assiste hoje mesmo às nossas aulas em vídeo com centenas de exercícios resolvidos. Aproveita e esclarece as tuas dúvidas todas!
Qual a ordem correta das operações matemáticas?
pequenas respostas para grandes perguntas
Para começar, quero que fique claro que a ordem das operações matemáticas, ou seja, a ordem pela qual devem ser executadas operações tais como a seguinte `2+3xx5` é uma convenção. O que significa isto? Significa que há muito tempo atrás, os matemáticos decidiram qual deveria ser a ordem pela qual as operações deveriam ser executadas. Não tem nada a ver com lógica é apenas uma convenção, tal como se convencionou que se entre um número e um parêntesis não houver nenhum sinal aritmético é porque se trata de uma multiplicação. Algumas pessoas decidiram adotar essa ordem, que se generalizou e foi seguida por todos. A partir daqui tornou-se uma regra matemática, e respeitar essa ordem tornou-se obrigatório, ficando assim mais fácil a comunicação entre matemáticos e não matemáticos. Por outras palavras, é uma notação matemática destinada a simplificar a escrita, indicando às pessoas quais são as operações que devem ser executadas em primeiro lugar.
Posto isto, eis então a ordem correta para executar as operações matemáticas:
- 1º Parêntesis;
- 2º Expoentes;
- 3º Multiplicações e Divisões; (da esquerda para a direita)
- 4º Somas e Subtrações. (da esquerda para a direita)
Eis dois pequenos exemplos:
- `2+3xx5=2+15=17`
- `(2+3)xx3^2=5xx3^2=5xx9=45`
É ainda de salientar, que todas as expressões que envolvam logaritmos, razões trigonométricas ou qualquer outro tipo de função, deverão ser executadas em primeiro lugar. Não é possível calcular `3+f(2)` antes de conhecer o valor de `f(2)`.
Mais dois exemplos para ajudar a perceber:
- `6 + log(100) * e^0=6+2xxe^0=6+2xx1=6+2=8`
- `3 Cos(pi) (2^2 + 1)^2 = 3 xx (-1) xx (4+1)^2=3 xx (-1) xx 5^2 = 3 xx (-1) xx 25 = -75`
Gostarias de referir este texto num trabalho escolar?
NUNES, Vitor F. R. "Qual a ordem correta das operações matemáticas?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/operacoes-matematicas.php, acedido em 12 de Setembro de 2024.
Utiliza este espaço para comentários ou dúvidas
Neste local poderás colocar os teus comentários e as tuas dúvidas. Todas as mensagens que não estiverem diretamente relacionadas com este tema, ou que eventualmente contenham linguagem considerada imprópria serão removidas.
03 de Março de 2019, 03h42
Mensagem de Ricardo Prates
Bom dia,
Um amigo meu mostrou-me a seguinte operação: 6÷2*(1+2)
e perguntou-me qual seria o resultado, ao qual eu disse 1, pois para mim, 6÷6 é 1; mas ao qual ele me disse que não, que era 9 e me mostrou uma forma de cálculo, que para mim é errada, pois eu aprendi que a multiplicação tem sempre prioridade, mas de facto já vi muitos exemplos na NET com o resultado 9, pois fazem a soma primeiro, retirando os parênteses e só depois fazem a multiplicação. Qual o correto afinal?
03 de Março de 2019, 14h12
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Ricardo,
Esta é uma dúvida muito comum. De facto, o resultado dessa expressão numérica vai depender da ordem pela qual as operações são efetuadas. De acordo com as regras que estão enunciadas em cima, a multiplicação e a divisão têm a mesma prioridade. Como tal, e ainda de acordo com as regras estabelecidas (que resultam de uma convenção acordada entre matemáticos), primeiro faz-se o que está dentro de parênteses, de seguida, as operações com igual prioridade são efetuadas à medida que aparecem, ou seja, da esquerda para a direita. Assim sendo, o resultado da expressão numérica é o seguinte: `6-:2xx(1+2)=``6-:2xx3=``3xx3=9`.
04 de Março de 2019, 14h36
Mensagem de Kelly F Silva
Bom dia, como resolvo essa questão: 7 + 7 ÷7 + 7 x 7 - 7=?
04 de Março de 2019, 17h56
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Kelly,
Seguindo as mesmas indicações que acabei de dar anteriormente, no caso de haver operações matemáticas com a mesma prioridade, estas devem ser realizadas pela ordem em que surgem, isto é, da esquerda para a direita. Portanto, a expressão numérica que apresentas irá ser calculada efetuando primeiro a divisão, de seguida calcula-se a multiplicação e por último as operações de adição e subtração pela ordem em que aparecem. O resultado final irá ser o seguinte: `7+7-:7+7xx7-7=`` 7+1+7xx7-7=`` 7+1+49-7=50`.
12 de Outubro de 2019, 23h48
Mensagem de José Edilson
Muito bom para exercitar a mente e relembrar exercícios do passado. Obg.
13 de Outubro de 2019, 03h08
Mensagem de Antonio
Boa noite, Vitor. Tudo bem?
Gostaria muito de saber o resultado dessa operação 96(15/7^3). Fiz o cálculo manual e na calculadora e deu resultados diferentes. Grato!
13 de Outubro de 2019, 11h19
Mensagem de Vitor Nunes
Olá António,
Temos que ter muita atenção à ordem pela qual as operações matemáticas são realizadas. A primeira operação a ser efetuada é `7^3`, isto porque, a potência tem prioridade sobre todas as outras operações. Assim sendo `7^3 = 343`. Logo, dentro de parêntesis irá ficar a fração `15/343`. Por último efetua-se a multiplicação, ou seja, `96xx15/343=1440/343`. Espero ter ajudado!
14 de Outubro de 2019, 14h13
Mensagem de Nuno Gomes
Na equaçao 60/2(7+3) o 2(7+3) deve ser considerado uma parcela ou devo separar como se fosse 2x(7+3) ?
14 de Outubro de 2019, 14h59
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Nuno,
Antes de mais, deixa-me chamar à atenção para o facto da dúvida que colocas não ser uma equação, isto porque, para ser uma equação seria necessário existir uma incógnita, ou seja, uma variável. Aquilo que apresentas é uma expressão numérica. Deve-se resolver primeiro o que está entre parêntesis e depois, como todas as restantes operações têm a mesma prioridade, devem ser resolvidas da esquerda para a direita. Assim sendo, irá ficar: `60//2(7+3) = 60//2xx10=30xx10=300`
21 de Abril de 2020, 00h27
Mensagem de Erasmo Manuel Lufuma
Muito obrigado, seu conteúdo e as explicações me ajudaram a esclarecer minhas dúvidas sobre o assunto.
02 de Maio de 2020, 22h26
Mensagem de Alessandro Clayton Machado
Olá Amigo, vi uma conta de matemática ou equação, não sei se é o mesmo, me corrija se escrevi errado o nome da conta! Mas estava dessa forma, foi numa página do Facebook que eu vi:
10 - 10 x 10 + 10 = ?
Tinha várias respostas diferentes, várias diziam ser 100 a resposta, mas a pessoa que fez a pergunta disse que estavam todos errados. Seguindo a regra primeiro seria a multiplicação, depois a subtração e no fim a adição. Eu também acho que é 100, mas fiquei na dúvida, se puder me esclarecer, agradeço!
03 de Maio de 2020, 09h28
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Alessandro,
A resolução correta (respeitando a ordem das operações matemáticas) dessa expressão numérica é a seguinte:
`10-10xx10+10 =`
`10-100+10 =`
`-90+10 =`
`-80`
05 de Fevereiro de 2021, 14h50
Mensagem de Pedro
Algumas calculadoras cientificas, tratam a multiplicação com operador × diferente da multiplicação por parênteses com ausência de operador, sendo este último com maior nível de prioridade, o sinal de fração agrupa os números do lado esquerdo dele com o do lado direito dele [6/2 equivale a (6÷2)], diferente do operador de divisão ÷
HP 10s+ Scientific Calculator:
6÷2×(1+2) = 9
6÷2(1+2) = 1
6/2(1+2) = 9
6/2×(1+2) = 9
o Site WolframAlpha:
6÷2×(1+2) = 9
6÷2(1+2) = 9
6/2(1+2) = 9
6/2×(1+2) = 9
6:2×(1+2) = 1
6:2(1+2) = 1
"6÷2(1+2) = 1" False
06 de Fevereiro de 2021, 11h47
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Pedro,
Não sabia desse facto. Obrigado pelo excelente comentário.
01 de Abril de 2021, 04h15
Mensagem de Michael
Olá, gostaria de saber qual é a ordem das operações de divisão quando são escritas em linguagem de máquina, ou "uma linha só", sem parênteses. Se começamos da direita para esquerda ou da esquerda para direita? Exemplo: 2/2/2/2. Se começar da direita para esquerda, ficaria 2/(2/(2/2)) = 1. Porém, se começarmos da esquerda para a direita ficaria ((2/2)/2)/2 = 0,25. Alguém tem alguma referência académica?
01 de Abril de 2021, 09h42
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Michael,
É uma excelente questão. No meu entender, faz sentido que as operações sendo de igual prioridade, fossem executadas da esquerda para a direita. Assim sendo, o resultado expectável seria 0,25. Porém, fui experimentar na máquina de calcular gráfica que tenho cá em casa, e o resultado que obtive foi 1, o que prova que as operações foram feitas da direita para a esquerda. Também experimentei numa máquina de calcular cientifica de uma outra marca e obtive 0,25. Isto leva-me a crer que não existe um padrão e que o resultado vai depender do fabricante.
11 de Fevereiro de 2022, 12h08
Mensagem de Maria do Carmo Gomes da Silva
Muito interessante este site. Pelos comentários fiquei a saber algo que é extraordinário e grave. As máquinas são usadas em exames nacionais por isso, a falta de padronização é inadmissível. O melhor é colocar sempre parêntesis, o que nos faz perder tempo valioso.
11 de Fevereiro de 2022, 17h16
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Maria,
Todos os anos o IAVE publica uma lista de máquinas de calcular que podem ser utilizadas nos exames nacionais. Em princípio, todas as maquinas presentes nessa lista têm um comportamento semelhante. Em todo o caso, cabe ao utilizador conhecer a sua máquina e saber em que circunstâncias é que deve utilizar parêntesis quando está a calcular expressões matemáticas. Esse desconhecimento não pode ser utilizado como alegação de imprecisões nos cálculos.
02 de Abril de 2022, 17h20
Mensagem de Antonio Filipe Costa Nunes
Na operação 10-10×10+10, o resulto -80 é o resultado certo. Após a operação da multiplicação, a ordem será primeiro a subtração, e depois é seguida a ordem da esquerda para a direita, correcto? Um abraço.
03 de Abril de 2022, 09h36
Mensagem de Vitor Nunes
Olá António,
A dúvida que tem em relação a essa mesma expressão já foi esclarecida num comentário anterior. Por favor, veja as respostas que foram dadas anteriormente. Em todo o caso, confirmo que seguindo a ordem correta das operações matemáticas, primeiro temos que efetuar a multiplicação, depois vem a subtração e só depois vem a adição.
11 de Junho de 2022, 22h16
Mensagem de Cassiano
No seu texto você diz a seguinte frase:
"Significa que há muito tempo atrás, os matemáticos decidiram qual deveria ser a ordem pela qual as operações deveriam ser executadas."
Você sabe me dizer o ano que essa convenção foi adotada e qual foi o matemático que escreveu isso pela primeira vez?
Sou professor de Matemática e conheço bem as regras, minha pergunta é apena uma curiosidade histórica.
12 de Junho de 2022, 08h59
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Cassiano,
Infelizmente não lhe sei dizer nem quando é que estas regras foram estabelecidas, nem quem é que as estabeleceu. Parto do princípio que não foram estabelecidas numa data precisa, nem entraram em vigor de um momento para o outro. Tal como em muitos outros processos da história, o estabelecimento e adoção destas regras deve ter sido um processo lento e gradual. Lamento não poder ajudar mais.
03 de Julho de 2022, 21h54
Mensagem de João
Eu lembro-me de ter aprendido de forma diferente. Era:
- Parêntesis;
- Factorial;
- Potências e Raízes;
- Multiplicação e Divisão;
- Adição e Subtração;
Mas isto já foi há muitos anos, e pode ser diferente agora.
04 de Julho de 2022, 10h07
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Essa ordem das operações matemáticas ainda se mantém. A operação factorial muitas vezes não é referida porque só é ensinada, mais tarde, no ensino secundário. Mas é verdade que ela tem precedência sobre as outras.
20 de Agosto de 2022, 10h21
Mensagem de Margarida Nunes
Caro colega,
Muito interessante o seu artigo.
Gostaria de lhe dizer, contudo, que as ordens das operações, a definição de prioridades no cálculo de uma expressão não é uma convenção.
Há um sentido de operação. Uma potência é uma multiplicação especial (caso particular da multiplicação em que todos os fatores são iguais, três ao quadrado, 3x3) e uma multiplicação é uma adição especial (caso particular de adição em que todos as parcelas são iguais, 3x4=4+4+4).
Experimente "brincar" ao contrário... percebe-se naturalmente que há uma ordem nas operações se se quiser resolver a expressão.
24
20 + 4
2x10 + 2 ao quadrado
Para chegar ao resultado 24 primeiro tem de fazer o produto e a potência e só depois a soma.
20 de Agosto de 2022, 11h07
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Margarida,
Obrigado por partilhar o seu ponto de vista. Gostei do exemplo que deu, de facto, ao decompor um número, apercebemo-nos que as operações têm que ser realizadas numa determinada ordem, de forma a voltar ao número original. Aqui fica outro exemplo:
`129`
`100+20+9`
`2xx50+2xx10+3^2`
Para obter o número original as multiplicações têm que ter prioridade sobre as adições. Mas ainda assim mantenho que existe uma convenção na escrita das operações, porque se não se tivesse convencionado que a multiplicação tivesse prioridade, então a escrita da última expressão matemática seria feita da seguinte forma:
`(2xx50)+(2xx10)+(3^2)`
A convenção permite-nos simplificar a escrita!
20 de Agosto de 2022, 14h23
Mensagem de Margarida Nunes
Obrigada pela resposta!
Sim, o parênteses surge para alterar a prioridade das operações. O uso de parênteses é que é uma convenção.
No exemplo dado pelo colega os parênteses não são necessários pois não alteram a prioridade.
Grata
13 de Março de 2024, 22h34
Mensagem de Jacilino António
Muito obrigado pelas excelentes explicações!
Entendi muito bem. Gostava tanto que ensinasse a resolver outros problemas matemáticos seguindo as regras.
08 de Setembro de 2024, 09h45
Mensagem de JOÃO COSTA
Excelentes explicações. Gostava de ter tido um professor assim. Mas, infelizmente!...
Consulta a nossa Lista de Perguntas para ficares a conhecer um pouco mais sobre os mais diversos temas relacionados com a matemática. Caso tenhas alguma pergunta (matemática) pertinente, cuja resposta não consigas encontrar facilmente, envia-nos um email através da página Contactar com essa dúvida. Teremos todo o gosto em responder. Na eventualidade de detetares algum erro nas nossas respostas, não hesites em avisar-nos!
