Paradoxos Matemáticos, o que são?

O raciocino lógico é uma das principais conquistas da mente humana. É graças a ele que conseguimos resolver problemas complexos. No entanto, na resolução desses problemas, surgem por vezes incongruências que parecem ir contra o senso comum e que desafiam a nossa capacidade lógica de analisar e de pensar. Desde os primórdios da matemática que surgiram problemas que desafiaram os maiores especialistas. Alguns deles foram considerados paradoxos por parecerem insolúveis, outros foram sendo resolvidos com novas descobertas e com o avanço da matemática.

Paradoxo de Zenão

Aquiles decide fazer uma corrida com uma tartaruga. Como a velocidade do herói da mitologia grega é muito superior à da tartaruga, ele decide dar-lhe um avanço de 10 metros. Vamos agora supor que Aquiles corre dez vezes mais rápido que a tartaruga. A corrida inicia-se e assim que Aquiles percorre os primeiros 10 metros para alcançar a tartaruga, esta já avançou 1 metro. Após Aquiles percorrer este 1 metro, ela já avançou 10 cm. Assim que ele percorre estes 10 cm, ela já avançou mais 1 milímetro. E assim por diante, o paradoxo diz-nos que Aquiles nunca alcançará a tartaruga, pois esta terá sempre um avanço em relação ao corredor.

Paradoxo de Russell

Em 1901, Bertrand Russell descobriu um paradoxo que expunha uma falha nos fundamentos da Teoria dos Conjuntos. Segundo a teoria aceite até essa data, um conjunto pode conter outros conjuntos, inclusive ele próprio. Por exemplo, o conjunto das ideias é uma ideia. No entanto, isto não é verdade para todos os conjuntos, já que existem imensos que não se podem conter a si próprios. É o caso do conjunto de todas as cores, que não é uma cor, ou do conjunto de todos os lápis, que não é um lápis. Posto isto, Russel pensou na existência de um conjunto de todos os conjuntos que não se contém a si mesmo (aquele que inclui o conjunto de todas as cores e o de todos os lápis) e colocou a seguinte questão: “Este conjunto pertence a si mesmo?”. Existem duas repostas possíveis: sim, ele pertence a si mesmo, ou não, não pertence a si mesmo. Se a resposta é que ele pertence a si mesmo, ele é um conjunto que não pertence a si mesmo (porque essa é a característica que define os participantes desse conjunto específico). E se a resposta for que ele não pertence a si mesmo, então ele é um conjunto que pertence a si mesmo. Este é o paradoxo de Russell: a resposta afirmativa leva a negação, e vice-versa.

Uma variante muito conhecida deste paradoxo é o Paradoxo do Barbeiro, que consiste no seguinte: Existe em Sevilha um barbeiro que segue duas regras escrupulosamente:

• Faz a barba a todas as pessoas de Sevilha que não fazem a barba a si próprias;
• Só faz a barba a quem não faz a barba a si próprio.

O paradoxo surge quando tentamos saber se o dito barbeiro faz a barba a si próprio ou não. Se fizer a barba a si próprio, não pode fazer a barba a si próprio, para não violar a segunda regra; mas se não fizer a barba a si próprio, então tem de fazer a barba a si próprio, pois essa é a primeira regra.

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