O que é um ponto de inflexão?

Já todos passamos por momentos na vida, em que sentimos que algo teria que mudar. Um ponto em que sentimos a necessidade de alterar um comportamento ou uma atitude, sob pena das coisas darem para o torto. Do ponto de vista matemático, as coisas não são muito diferentes. Para ser mais fácil explicar o que é um ponto de inflexão vou recorrer a um gráfico que nos mostra os lucros de uma empresa. No eixo horizontal (designado por `x`) temos a passagem do tempo, no eixo vertical (designado por `y`) temos os lucros:

Pela análise do gráfico, conseguimos ver que esta empresa atravessa um bom momento, uma vez que, à medida que o tempo passa, os lucros estão constantemente a aumentar. No entanto, ali no ponto `a` parece que se passou algo. De facto, naquele ponto, alguma coisa mudou no comportamento dos lucros da empresa. Apesar de se verificar um constante aumento dos lucros, o comportamento do gráfico não é sempre igual. À esquerda do ponto `a` os lucros estavam a aumentar a um ritmo cada vez menor. Se essa tendência continuasse, os lucros iriam acabar por diminuir. Felizmente, algo mudou na empresa nesse ponto. Isto porque, à direita do ponto `a` observamos que os lucros começaram a subir a um ritmo cada vez mais acelerado. A esse ponto dá-se o nome de ponto de inflexão.

Como reconhecer um ponto de inflexão?

Se olharmos atentamente para o gráfico verificamos que à esquerda do ponto `a` o sentido da concavidade é voltado para baixo, enquanto que à direita do ponto `a` o sentido da concavidade é voltado para cima. Portanto, o ponto de inflexão localiza-se, no preciso local em que as concavidades do gráfico mudam de sentido. Claro que os matemáticos não fazem isto por mera observação. Para determinar a localização precisa desse ponto, faz-se o estudo da segunda derivada da função. Sabendo que o declive da reta tangente nesse ponto é nulo (reta representada a vermelho no gráfico), é possível determinar com exatidão a existência de um ponto de inflexão.

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