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O que são números primos entre si?

pequenas respostas para grandes perguntas

A resposta a esta pergunta é relativamente simples. Dois números, são chamados de primos entre si, quando o seu único divisor em comum é a unidade. Desta definição resulta que o MDC (Máximo Divisor Comum) entre esses dois números é o número 1.

Não percebi, podiam dar-me um exemplo?

Claro, aqui vai, os divisores do números 4 são estes: `{1,2,4}`; os divisores do números 9 são estes: `{1,3,9}`. O único divisor comum entre o 4 e o 9 é o número 1, logo, o 4 e o 9 são primos entre si. Já os números 15 e 21 não são primos entre si, uma vez que além do número 1 também têm como divisor em comum o número 3.

Posso concluir que os números nem sequer precisam de ser primos?

De facto, não é necessário! Por exemplo, os números 25 e 27 são primos entre si, no entanto, nenhum deles é primo.

números primos entre si

Então e se ambos forem primos?

Dois números primos, são sempre primos entre si. Da definição de número primo resulta que estes números apenas têm dois divisores, eles próprios e a unidade. Assim sendo, o único divisor comum entre dois números primos é de certeza a unidade! Já agora, em jeito de conclusão, fica sabendo que dois números consecutivos são sempre primos entre si. A explicação deste facto é um pouco mais complexa, mas aqui fica para os mais curiosos: se dois números consecutivos tivessem um divisor comum diferente da unidade, então esse divisor também teria que ser divisor da diferença entre ambos os números. Mas, como a diferença entre dois números consecutivos é um, esse divisor comum deveria ser divisor do número um, o que é impossível!

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NUNES, Vitor F. R. "O que são números primos entre si?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/primos-entre-si.php, acedido em 26 de Março de 2023.



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Foram feitos 13 comentários/dúvidas.
03 de Junho de 2019, 02h30

Mensagem de Jhenifer

35 e 75 são primos entre si?

03 de Junho de 2019, 08h00

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Jhenifer,
Repara que o número 35 possui vários divisores, sendo um deles o número 5. Quanto ao número 75, este também possui vários divisores e um deles também é o número 5. Como ambos os números são divisíveis por 5, então eles não são primos entre si. Para que isso acontecesse, o único divisor em comum ente esses dois números deveria ser a unidade. Espero que tenhas ficado esclarecida!

19 de Agosto de 2020, 06h28

Mensagem de Bernaldete

A explicação é excelente. Matou minha dúvida. Muito Obrigado.

06 de Novembro de 2021, 15h19

Mensagem de Kelly

Qual é o resultado do MMC entre dois números primos entre si (aqueles que só tem o 1 como divisor comum)?

06 de Novembro de 2021, 17h45

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Kelly,
Esta é uma boa pergunta. Vou responder com um exemplo. Os números 4 e 9 são primos entre si, e o mínimo múltiplo comum entre estes dois números é 36. Este número é o produto dos números dados inicialmente. Será que isto é sempre assim? A resposta é sim. A decomposição em fatores primos de ambos os números, não possui fatores comuns (uma vez que são primos entre si). O cálculo do MMC é feito pelo produto dos fatores comuns de maior expoente e dos não comuns. Como não existem fatores comuns resta-nos multiplicar os não comuns. Daqui resulta que o MMC de dois números primos entre si é sempre o produto de ambos os números.

02 de Janeiro de 2022, 00h16

Mensagem de Lucas Rodrigues Alves

Excelente explicação, preencheu por completo minhas dúvidas!

01 de Fevereiro de 2022, 19h22

Mensagem de Cindy Okino

Gostei da explicação, ficou bastante claro.

11 de Agosto de 2022, 20h51

Mensagem de HUGO FERREIRA DE SOUSA FILHO

O número 1 não é primo, porém entre ele e qualquer outro número o único divisor possível é o 1, posso assim considerá-lo primo entre si com qualquer outro natural, diferente de zero?

12 de Agosto de 2022, 08h58

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Hugo,
Tendo em conta a definição de números primos entre si, então parto do princípio que sim. O número 1 é primo entre si com qualquer outro número natural, uma vez que os únicos divisores que ambos os números terão em comum, será o próprio numero 1.

02 de Novembro de 2022, 12h00

Mensagem de Luna

No caso da soma de 2 números primos entre si, o resultado sempre seria um número primo?

02 de Novembro de 2022, 14h17

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Luna,
A resposta é não. Por exemplo, os números 5 e 7 são primos entre si. No entanto, a sua soma que dá 12 não é um número primo.

12 de Março de 2023, 16h58

Mensagem de Joana

Isso significa que para os números serem primos entre si, têm de ter como divisor comum APENAS 1 (a unidade) certo? Adorei a explicação! Incrível.

13 de Março de 2023, 07h37

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Joana,
Sim, é isso mesmo. Os números primos entre si apenas têm um divisor em comum. O número 1.

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