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Como calcular a soma de todos os termos de uma sucessão?
pequenas respostas para grandes perguntas
Conta-se que o matemático alemão Carl Friedrich Gauss, ainda muito jovem, como aluno do ensino básico, surpreendeu o seu professor quando este propôs aos seus alunos que calculassem o valor da soma dos números inteiros de 1 a 100. Gauss terá respondido passado pouco tempo, tendo utilizado a estratégia de somar, 100 + 1, 99 + 2, 98 + 3, 97 + 4 e por aí fora. Com este processo obteve 100 vezes a parcela 101. Isto significa que adicionando duas vezes os números de 1 a 100, se obtém como resultado 10100. Desta forma a resposta à questão proposta pelo professor é 5050 (metade de 10100).
Não existe uma fórmula para isso?
Claro, e é aí que eu quero chegar com a história sobre Gauss. A estratégia por ele utilizada, evidencia que numa progressão aritmética, a soma dos termos equidistantes é sempre a mesma. Assim sendo, para obter a soma de todos os termos, basta somar o primeiro termo com o último, multiplicar esse valor pelo número de termos que queremos somar e por fim dividir por 2. Aqui fica a fórmula, em que `n` representa o número de termos da progressão aritmética que pretendemos somar: `S_n = (U_1 + U_n)/2 xx n`.
E quanto à soma dos termos de uma progressão geométrica?
Desta vez, não me vou alongar com nenhuma história (que ninguém sabe se é verdade ou não). Limito-me a deixar aqui a fórmula, sendo que `r` representa a razão e a variável `n` é o número de termos da progressão geométrica que pretendemos somar: `S_n = U_1 xx (1-r^n)/(1-r)`.
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NUNES, Vitor F. R. "Como calcular a soma de todos os termos de uma sucessão?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/soma-termos-sucessao.php, acedido em 04 de Novembro de 2025.
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23 de Junho de 2019, 00h23
Mensagem de José Quintas Cassinda
Cordiais saudações! Minha dúvida consiste em achar o termo geral de uma sucessão que não é PA e nem PG, ex : 0; 1/2; 2/3; 3 /4. Por favor conto com vossa benevolência.
23 de Junho de 2019, 08h05
Mensagem de Vitor Nunes
Olá José,
Não tenho por hábito responder a dúvidas relacionadas com exercícios colocados pelos alunos. Mas tendo em conta a simpatia com que faz o pedido, não me atrevo a recusar. Repare que o primeiro termo pode ser interpretado como `0//1` e assim sendo, temos uma sucessão em que o numerador começa no zero e a cada termo da sucessão é adicionado um. O denominador possui a mesma sequência mas começa no número um. Tendo isto em conta, o termo geral desta sucessão poderá ser o seguinte: `U_n=(n-1)/n`
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