Como é que utilizo o Teorema de Bolzano?

O enunciado do Teorema de Bolzano, também conhecido como Teorema do Valor Intermédio ou ainda como Teorema de Bolzano-Cauchy é o seguinte: Se `f` for uma função contínua num determinado intervalo `[a,b]`, então para qualquer valor `d` compreendido entre `f(a)` e `f(b)`, existe pelo menos um valor `c` compreendido entre `a` e `b` tal que `f(c) = d`. Mas afinal, qual é o significado disto? Vou tentar explicar o que aqui foi dito recorrendo a um pequeno exemplo:

Antes de avançar com uma explicação mais detalhada, quero salientar um aspeto muito importante, que muitas vez é esquecido pelos alunos, o Teorema de Bolzano só pode ser aplicado em funções contínuas num intervalo. Se a função não for contínua, o teorema não tem qualquer utilidade! Posto isto, ao observar a imagem anterior, verificamos que a função é contínua no intervalo `[a,b]`, logo podemos afirmar que existe um objeto que se situa entre `a` e `b`, vamos dar-lhe o nome de `c`, cuja imagem `d` está situada entre `f(a)` e `f(b)`. Na imagem podemos ver claramente que `f(c) = d`. Atenção que o teorema não diz que `c` é o único objeto cuja imagem é `d`, apenas podemos afirmar que existe pelo menos um objeto, mas este pode não ser o único.

E quanto ao corolário do Teorema de Bolzano?

Este corolário é especialmente importante porque permite afirmar o seguinte: Se `f(a) xx f(b) < 0`, então `EE c in ]a,b[:f(c)=0`, em linguagem corrente isto significa que se `f(a)` e `f(b)` tiverem sinais contrários, então a função possui pelo menos um zero no intervalo `]a,b[`. Reparem como isto é útil, se estiver na presença de um polinómio de quarto ou quinto grau, apesar de não conseguir encontrar as suas raízes recorrendo a métodos algébricos, posso provar que elas existem num determinado intervalo, desde que se verifiquem as condições do corolário do Teorema de Bolzano. Na imagem seguinte, consigo verificar que `f(a)` e `f(b)` têm sinais contrários, logo de certeza que esta função possui pelo menos um zero naquele intervalo. Quero salientar que, usando o corolário do teorema, não consigo calcular o zero nem provar que ele é único, apenas posso afirmar que ele existe. Se desejar, pode experimentar resolver alguns exercícios práticos onde se aplicam estas e outras noções.

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