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Para que serve o Teorema de Pitágoras?

pequenas respostas para grandes perguntas

O Teorema de Pitágoras é dos mais conhecidos teoremas da matemática. Deve o seu nome ao matemático grego Pitágoras de Samos que foi, não o seu inventor ou descobridor (porque o teorema já era conhecido muito antes do aparecimento de Pitágoras), mas o primeiro matemático a demonstrar a sua veracidade. Para mais facilmente memorizares o teorema, aqui fica uma pequena lengalenga que os meus professores me ensinaram no meu tempo de estudante e que nunca mais esqueci:


"Pitágoras de Siracusa
disse um dia aos seus netos:
o quadrado da hipotenusa
é igual a soma do quadrado dos catetos."

Mas qual o motivo deste teorema ser tão importante?

Por uma razão muito simples, porque conhecendo duas das medidas dos lados de um triângulo retângulo, torna-se fácil descobrir a medida do lado em falta. Essa importância é mais evidente, quando nos apercebemos que estamos rodeados de triângulos retângulos por todo o lado, uma vez que, uma boa parte da natureza (uma árvore faz um ângulo reto com o solo) e das construções humanas (edifícios, pontes, monumentos) assentam em ângulos retos.

Como reconhecer os catetos e a hipotenusa?

É fácil, o lado maior, aquele que está do lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os outros dois lados que formam o ângulo reto são os catetos.

nomenclatura do triângulo retângulo

Qual é então a famosa fórmula do Teorema de Pitágoras?

Tendo em conta aquilo que foi dito na lengalenga acima referida, a fórmula matemática é a seguinte: `H^2 = C_1^2 + C_2^2`

Podiam dar um exemplo prático?

Vamos supor que pretendemos colocar uma escada junto a um prédio com 12 metros de altura. Tendo em conta que a escada vai ficar 5 metros afastada do prédio, qual deverá ser o comprimento da escada, de modo a que, esta consiga alcançar o topo do prédio?

Calcular o valor da hipotenusa

Reparem que a escada, em conjunto com a parede do prédio e o chão formam um triângulo retângulo. Assim sendo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da escada. O comprimento da escada é a hipotenusa, o chão é um dos catetos e a parede do prédio é o outro cateto. Os cálculos para encontrar o comprimento da escada seriam feitos da seguinte forma:


`H^2 = C_1^2 + C_2^2 hArr`
`x^2 = 5^2 + 12^2 hArr`
`x^2 = 25 + 144 hArr`
`x^2 = 169 hArr`
`x = sqrt(169) hArr`
`x = 13`

Posso utilizar o Teorema de Pitágoras em qualquer triângulo?

Não, o Teorema de Pitágoras só pode ser utilizado em triângulos retângulos, ou seja, triângulos formados por um ângulo de 90º. Felizmente é possível, em praticamente todos os polígonos, dividi-los de forma a obter, um ou vários, triângulos retângulos. Um quadrado por exemplo é formado por dois triângulos retângulos iguais.

Então, e se o triângulo não for retângulo?

Bom, nesse caso usa-se uma outra lei conhecida como lei dos cossenos, que permite calcular o terceiro lado de qualquer triângulo, desde que se conheça o comprimento de dois dos seus lados e o ângulo por eles formado. O Teorema de Pitágoras é um caso particular desta lei!

Como é que se prova que a fórmula é válida para qualquer triângulo retângulo?

Como curiosidade, fica sabendo que o livro "The Pythagorean Proposition" contém 370 demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras! Para não estar a ser demasiado técnico, em vez de demonstrações difíceis de perceber, deixo aqui duas pequenas animações que servem para ilustrar que a fórmula do Teorema de Pitágoras é válida para qualquer triângulo retângulo.

Demonstração da veracidade do teorema de Pitágoras
Demonstração da veracidade do teorema de Pitágoras

Já ouvi falar em Terno Pitagórico, o que é isso?

Trata-se de um conjunto de três números inteiros e positivos, ou seja, naturais (por vezes também designados por trio pitagórico ou tripla pitagórica), a partir dos quais é possível "construir" um triângulo retângulo com essas medidas. A título de exemplo aqui ficam os primeiros cinco ternos pitagóricos: `(3,4,5)`; `(5,12,13)`; `(7,24,25)`; `(8,15,17)` e `(9,40,41)`.

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Gostarias de referir este texto num trabalho escolar?

NUNES, Vitor F. R. "Para que serve o Teorema de Pitágoras?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/teorema-pitagoras.php, acedido em 27 de Novembro de 2022.



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Foram feitos 3 comentários/dúvidas.
24 de Setembro de 2020, 13h35

Mensagem de Joyce

Parabéns pelo trabalho!! Estou utilizando seu material com meus alunos para as atividades na plataforma.

24 de Setembro de 2020, 14h59

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Joyce,
Obrigado pela mensagem de agradecimento. Aproveito a oportunidade para divulgar que pode colocar em prática o Teorema de Pitágoras através da seguinte calculadora.

28 de Novembro de 2021, 16h12

Mensagem de Anónimo

Muitos parabéns ficou um trabalho excelente.

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