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Para que serve o Teorema de Pitágoras?

pequenas respostas para grandes perguntas

O Teorema de Pitágoras é dos mais conhecidos teoremas da matemática. Deve o seu nome ao matemático grego Pitágoras de Samos que foi, não o seu inventor ou descobridor (porque o teorema já era conhecido muito antes do aparecimento de Pitágoras), mas o primeiro matemático a demonstrar a sua veracidade. Para mais facilmente memorizares o teorema, aqui fica uma pequena lengalenga que os meus professores me ensinaram no meu tempo de estudante e que nunca mais esqueci:


"Pitágoras de Siracusa
disse um dia aos seus netos:
o quadrado da hipotenusa
é igual a soma do quadrado dos catetos."

Mas qual o motivo deste teorema ser tão importante?

Por uma razão muito simples, porque conhecendo duas das medidas dos lados de um triângulo retângulo, torna-se fácil descobrir a medida do lado em falta. Essa importância é mais evidente, quando nos apercebemos que estamos rodeados de triângulos retângulos por todo o lado, uma vez que, uma boa parte da natureza (uma árvore faz um ângulo reto com o solo) e das construções humanas (edifícios, pontes, monumentos) assentam em ângulos retos.

Como reconhecer os catetos e a hipotenusa?

É fácil, o lado maior, aquele que está do lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os outros dois lados que formam o ângulo reto são os catetos.

nomenclatura do triângulo retângulo

Qual é então a famosa fórmula do Teorema de Pitágoras?

Tendo em conta aquilo que foi dito na lengalenga acima referida, a fórmula matemática é a seguinte: `H^2 = C_1^2 + C_2^2`

Podiam dar um exemplo prático?

Vamos supor que pretendemos colocar uma escada junto a um prédio com 12 metros de altura. Tendo em conta que a escada vai ficar 5 metros afastada do prédio, qual deverá ser o comprimento da escada, de modo a que, esta consiga alcançar o topo do prédio?

Calcular o valor da hipotenusa

Reparem que a escada, em conjunto com a parede do prédio e o chão formam um triângulo retângulo. Assim sendo, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento da escada. O comprimento da escada é a hipotenusa, o chão é um dos catetos e a parede do prédio é o outro cateto. Os cálculos para encontrar o comprimento da escada seriam feitos da seguinte forma:


`H^2 = C_1^2 + C_2^2 hArr`
`x^2 = 5^2 + 12^2 hArr`
`x^2 = 25 + 144 hArr`
`x^2 = 169 hArr`
`x = sqrt(169) hArr`
`x = 13`

Posso utilizar o Teorema de Pitágoras em qualquer triângulo?

Não, o Teorema de Pitágoras só pode ser utilizado em triângulos retângulos, ou seja, triângulos formados por um ângulo de 90º. Felizmente é possível, em praticamente todos os polígonos, dividi-los de forma a obter, um ou vários, triângulos retângulos. Um quadrado por exemplo é formado por dois triângulos retângulos iguais.

Então, e se o triângulo não for retângulo?

Bom, nesse caso usa-se uma outra lei conhecida como lei dos cossenos, que permite calcular o terceiro lado de qualquer triângulo, desde que se conheça o comprimento de dois dos seus lados e o ângulo por eles formado. O Teorema de Pitágoras é um caso particular desta lei!

Como é que se prova que a fórmula é válida para qualquer triângulo retângulo?

Como curiosidade, fica sabendo que o livro "The Pythagorean Proposition" contém 370 demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras! Para não estar a ser demasiado técnico, em vez de demonstrações difíceis de perceber, deixo aqui duas pequenas animações que servem para ilustrar que a fórmula do Teorema de Pitágoras é válida para qualquer triângulo retângulo.

Demonstração da veracidade do teorema de Pitágoras
Demonstração da veracidade do teorema de Pitágoras

Já ouvi falar em Terno Pitagórico, o que é isso?

Trata-se de um conjunto de três números inteiros e positivos, ou seja, naturais (por vezes também designados por trio pitagórico ou tripla pitagórica), a partir dos quais é possível "construir" um triângulo retângulo com essas medidas. A título de exemplo aqui ficam os primeiros cinco ternos pitagóricos: `(3,4,5)`; `(5,12,13)`; `(7,24,25)`; `(8,15,17)` e `(9,40,41)`.

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Gostarias de referir este texto num trabalho escolar?

NUNES, Vitor F. R. "Para que serve o Teorema de Pitágoras?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/teorema-pitagoras.php, acedido em 16 de Julho de 2020.



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