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O que são vetores colineares?
pequenas respostas para grandes perguntas
Dois vetores são considerados como sendo colineares quanto têm a mesma direção (ainda que possam ter sentidos opostos). Por outras palavras, dois ou mais vetores são colineares se ao colocarmos retas "por cima" desses vetores, elas forem paralelas. Na figura abaixo, temos uma imagem com 4 vetores, alguns pares de vetores têm o mesmo comprimento, outros têm o mesmo sentido e ainda outros não têm nem o mesmo sentido nem o mesmo comprimento, mas apesar disso, todos eles colineares.
Como verificar se dois vetores do plano são colineares?
Se tivermos um vetor `vec u = (2,6)` e um vetor `vec v = (3,9)`, e quisermos verificar se são colineares, então basta utilizar um "truque" muito simples que consiste em fazer a multiplicação cruzada das coordenadas e verificar se dá o mesmo resultado. Neste exemplo ficaria `2xx9=6xx3`. Como ambos os produtos dão o mesmo resultado, então fica demonstrado que os vetores `vec u` e `vec v` são colineares.
Como verificar se dois vetores do espaço são colineares?
Aqui o processo já é um pouco mais complexo. A definição matemática de vetores colineares diz-nos o seguinte: `EE k in RR : vec u = k vec v`. Para provarmos que dois vetores no espaço são colineares temos que provar que essa constante `k` existe. Vamos supor que temos os vetores `vec u = (2,3,4)` e `vec v = (4,6,8)`. Praticamente sem fazermos cálculos, conseguimos ver que, se multiplicarmos `vec u` por dois então vamos obter `vec v`, logo a constante `k` existe e tem o valor dois. Mas nem sempre é assim tão fácil fazer isso desta forma. Em casos mais complicados, para verificar a colinearidade, o mais fácil é dividir cada coordenada de um vetor pela respetiva coordenada do outro e verificar se o resultado obtido é sempre o mesmo. No exemplo dado anteriormente ficaria `4:2=6:3=8:4`. Sendo verdadeira esta tripla igualdade, concluímos que estamos na presença de dois vetores colineares.
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NUNES, Vitor F. R. "O que são vetores colineares?", matematica.pt. Disponível em: https://www.matematica.pt/faq/vetores-colineares.php, acedido em 26 de Março de 2026.
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04 de Julho de 2019, 23h21
Mensagem de Eva Santos
Dúvida esclarecida com sucesso! Gostei imenso da forma simples e objectiva com que explicam a matéria. Obrigada por disponibilizarem tal! Muito sucesso para vocês. :)
30 de Janeiro de 2020, 13h59
Mensagem de Ana
Tenho uma dúvida.
Se um vetor tiver coordenadas negativas pode ser colinear ao outro? Sendo que o outro não tem coordenadas negativas..
31 de Janeiro de 2020, 08h44
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Ana,
Sem dúvida que sim. Vamos supor que temos os seguintes vetores: `vec u = (-2,-3)` e `vec v = (4,6)`, apesar do primeiro ter coordenadas negativas e o segundo não, eles são colineares. Repara que para serem colineares dois vetores não precisam de ter o mesmo sentido, basta que tenham a mesma direção. Quanto ao comprimento, também não é necessário que seja o mesmo, neste caso o segundo vetor mede o dobro do primeiro. Espero ter ajudado!
31 de Janeiro de 2020, 16h24
Mensagem de Ana
Está bem. Obrigada! Quer dizer que sendo assim estes vetores: u= (-2,3) e v= (4,6) são colineares?
visto que um fica 4:(- 2) e o outro 6:3 = -2 e o outro 2, mas mesmo assim são colinares só que são simétricos?
31 de Janeiro de 2020, 16h50
Mensagem de Vitor Nunes
Olá novamente Ana,
Os vetores que dás como exemplo, não são colineares, nem são simétricos. Para serem simétricos teriam que ter o mesmo comprimento e, tal como referi, isso não acontece. Uma última chamada de atenção em relação aos teus cálculos, numa das operações de divisão que efetuaste deu 2 e na outra divisão deu -2, logo não são colineares. Para serem colineares teria que dar o mesmo número, tal como acontece no meu exemplo!
04 de Janeiro de 2021, 23h17
Mensagem de Daniela
Tenho esta pergunta: Determina as coordenadas de um vetor w que satisfaça as condições: norma de w=2 e o vetor u e o vetor w são colineares e têm sentidos opostos
05 de Janeiro de 2021, 10h29
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Daniela,
Penso que o teu enunciado está incompleto, uma vez que não referes quais são as coordenadas do vetor `vec u`. Mas se for mesmo assim, então ambos os vetores podem ser escolhidos por nós, nesse caso poderá ser `vec u = (-1,0)` e `vec w = (2,0)`. Desta forma, estes dois vetores são colineares e o vetor `w` tem norma 2.
07 de Janeiro de 2021, 22h11
Mensagem de João
Dois vetores com as mesmas coordenadas são considerados vetores colineares?
08 de Janeiro de 2021, 08h48
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
A resposta é sim. Forçosamente dois vetores com as mesmas coordenadas têm a mesma direção, logo são vetores colineares.
19 de Janeiro de 2022, 21h43
Mensagem de Rita
Olá, tenho uma duvida, dois vetores colineares têm a mesma norma, ou as normas são diferentes ?
20 de Janeiro de 2022, 08h59
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Rita,
Dois vetores colineares têm de ter obrigatoriamente a mesma direção. Quanto ao comprimento do vetor, ou seja a norma, esta pode ser igual ou diferente. A única obrigatoriedade para ser considerado colinear é mesmo a direção, tanto a norma como o sentido podem ser diferentes ou iguais.
15 de Junho de 2022, 10h22
Mensagem de Jacira
Como verificar se os pontos A(-1;-5;0) B(2;1,3) C(-2;-7;-1) são colineares ?
15 de Junho de 2022, 19h57
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Jacira,
A forma mais fácil de verificar se esses pontos são colineares, consiste nos seguintes dois passos:
1º Calcular as coordenadas dos vetores `vec(AB)` e `vec(BC)`;
2º Verificar se os vetores obtidos anteriormente são colineares.
Se os vetores forem colineares, isso significa que os pontos são colineares, caso contrário, não são.
30 de Dezembro de 2022, 10h23
Mensagem de Inês
Como é que eu verifico que estes dois vetores são colineares?
Vetor e (0,1 ; 0,2 ; 0,3)
Vetor f (5, 10, 15)
Eu já tentei fazer f = k e, ou seja,
(5, 10, 15) = k (0,1 ; 0,2 ; 0,3) e não me dá certo.
(não consigo colocar a seta, mas "e" e "f" são vetores.
01 de Janeiro de 2023, 17h01
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Inês,
A forma mais fácil de verificar se os vetores são colineares consiste em dividir as coordenadas de um deles pelas coordenadas do outro. Se der sempre o mesmo resultado então são colineares. No exemplo que deste ficaria `5/(0,1) = 10/(0,2) = 15/(0,3)`. Repara que estas três divisões dão sempre o mesmo resultado, assim sendo, fica provado que são vetores colineares.
22 de Fevereiro de 2024, 21h11
Mensagem de João Txitxi
Quero saber de forma clara o que são vetores paralelos, será que é o mesmo que falar vetores colineares?
23 de Fevereiro de 2024, 10h45
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Quando falamos de vetores, não existe o conceito de vetores paralelos, mas sim de vetores colineares. Por vezes erradamente, utiliza-se a designação de vetores paralelos, que nesses casos deve ser interpretado como sendo vetores colineares.
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