Representação Gráfica do Produto Escalar

O produto escalar de dois vetores pode ser obtido de duas formas distintas: através das normas dos vetores e do ângulo por eles formado ou através das componentes desses vetores num sistema de coordenadas ortogonal, como no cartesiano.

Graficamente podemos definir o produto escalar como uma área. No exemplo seguinte, `bar(ED) = ||vec u||` e `bar(AD) = ||vec v||xxcos(alpha)`. Como sabemos que `vec u.vec v=||vec u||xx||vec v||xxcos(alpha)`, daqui resulta o seguinte: `vec u.vec v={(text(Área)[R], text( se ) 0º<=alpha<=90º),(-text(Área)[R], text( se ) 90º<=alpha<=180º):}`

O cálculo vetorial teve o seu desenvolvimento nos séculos XIX e XX, com contributos fundamentais do matemático irlandês William Hamilton e do matemático alemão Hermann Grassman com trabalhos independentes. No entanto, foram os trabalhos do matemático americano Josiah Gibbs e do matemático inglês Oliver Heaviside que aperfeiçoaram e introduziram um maior formalismo, de forma a tornar o cálculo vetorial uma teoria consistente, tal como hoje é conhecida.

Na física, o cálculo do trabalho realizado por uma força constante quando aplicada a um corpo é uma aplicação direta do produto escalar de dois vetores.