Metas Curriculares de Matemática do 10º ano

Lógica e Teoria dos Conjuntos

Proposições

- Valor lógico de uma proposição; Princípio de não contradição;
- Operações sobre proposições: negação, conjunção, disjunção, implicação e equivalência;
- Prioridades das operações lógicas;
- Relações lógicas entre as diferentes operações; propriedade da dupla negação; Princípio do terceiro excluído; Princípio da dupla implicação;
- Propriedades comutativa e associativa, da disjunção e da conjunção e propriedades distributivas da conjunção em relação à disjunção e da disjunção em relação à conjunção;
- Leis de De Morgan;
- Implicação contrarrecíproca;
- Resolução de problemas envolvendo operações lógicas sobre proposições.

Condições e Conjuntos

- Expressão proposicional ou condição; quantificador universal, quantificador existencial e segundas Leis de De Morgan; contraexemplos;
- Conjunto definido por uma condição; Igualdade entre conjuntos; conjuntos definidos em extensão;
- União (ou reunião), interseção e diferença de conjuntos e conjunto complementar;
- Inclusão de conjuntos;
- Relação entre operações lógicas sobre condições e operações sobre os conjuntos que definem;
- Princípio de dupla inclusão e demonstração de equivalências por dupla implicação;
- Negação de uma implicação universal; demonstração por contrarrecíproco;
- Resolução de problemas envolvendo operações sobre condições e sobre conjuntos.

Álgebra

Radicais

- Monotonia da potenciação; raízes de índice `n in NN`, `n >= 2` ;
- Propriedades algébricas dos radicais: produto e quociente de raízes com o mesmo índice, potências de raízes e composição de raízes;
- Racionalização de denominadores;
- Resolução de problemas envolvendo operações com radicais.

Potências de expoente racional

- Definição e propriedades algébricas das potências de base positiva e expoente racional: produto e quociente de potências com a mesma base, produto e quociente de potências com o mesmo expoente e potência de potência;
- Resolução de problemas envolvendo operações com potências.

Polinómios

- Divisão euclidiana de polinómios e regra de Ruffini;
- Divisibilidade de polinómios; Teorema do resto;
- Multiplicidade da raiz de um polinómio e respetivas propriedades;
- Resolução de problemas envolvendo a divisão euclidiana de polinómios, o Teorema do resto e a fatorização de polinómios;
- Resolução de problemas envolvendo a determinação do sinal e dos zeros de polinómios.

Geometria Analítica

Geometria analítica no plano

- Referenciais ortonormados;
- Fórmula da medida da distância entre dois pontos no plano em função das respetivas coordenadas;
- Coordenadas do ponto médio de um dado segmento de reta;
- Equação cartesiana da mediatriz de um segmento de reta;
- Equações e inequações cartesianas de um conjunto de pontos;
- Equação cartesiana reduzida da circunferência;
- Definição de elipse e respetiva equação cartesiana reduzida; relação entre eixo maior, eixo menor e distância focal;
- Inequações cartesianas de semiplanos;
- Inequações cartesianas de círculos;
- Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do plano;
- Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de subconjuntos do plano.

Cálculo vetorial no plano

- Norma de um vetor;
- Multiplicação por um escalar de um vetor; relação com a colinearidade e o vetor simétrico;
- Diferença entre vetores;
- Propriedades algébricas das operações com vetores;
- Coordenadas de um vetor;
- Vetor-posição de um ponto e respetivas coordenadas;
- Coordenadas da soma e da diferença de vetores; coordenadas do produto de um vetor por um escalar e do simétrico de um vetor; relação entre as coordenadas de vetores colineares;
- Vetor diferença de dois pontos; cálculo das respetivas coordenadas; coordenadas do ponto soma de um ponto com um vetor;
- Cálculo da norma de um vetor em função das respetivas coordenadas;
- Vetor diretor de uma reta; relação entre as respetivas coordenadas e o declive da reta;
- Paralelismo de retas e igualdade do declive;
- Equação vetorial de um reta;
- Sistema de equações paramétricas de uma reta;
- Resolução de problemas envolvendo a determinação de coordenadas de vetores no plano, a colinearidade de vetores e o paralelismo de retas do plano.

Geometria analítica no espaço

- Referenciais cartesianos ortonormados do espaço;
- Equações de planos paralelos aos planos coordenados;
- Equações cartesianas de retas paralelas a um dos eixos;
- Distância entre dois pontos no espaço;
- Equação do plano mediador de um segmento de reta;
- Equação cartesiana reduzida da superfície esférica;
- Inequação cartesiana reduzida da esfera;
- Resolução de problemas envolvendo a noção de distância entre pontos do espaço;
- Resolução de problemas envolvendo equações e inequações cartesianas de subconjuntos do espaço.

Cálculo vetorial no espaço

- Generalização ao espaço dos conceitos e propriedades básicas do cálculo vetorial;
- Equação vetorial da reta no espaço;
- Resolução de problemas envolvendo cálculo vetorial no espaço.

Funções Reais de Variável Real

Generalidades acerca de funções

- Produtos cartesianos de conjuntos;
- Gráficos de funções;
- Restrições de uma função;
- Imagem de um conjunto por uma função;
- Funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas;
- Composição de funções;
- Função inversa de uma função bijetiva.

Generalidades acerca de funções reais de variável real

- Funções reais de variável real; funções definidas por expressões analíticas;
- Propriedades geométricas dos gráficos de funções;
- Paridade; simetrias dos gráficos das funções pares e das funções ímpares;
- Relação geométrica entre o gráfico de uma função e o da respetiva inversa;
- Relação entre o gráfico de uma função `f` e os gráficos das funções `af(x)`, `f(bx)`, `f(x + c)` e `f(x) + d` .

Monotonia, extremos e concavidade

- Intervalos de monotonia de uma função real de variável real; caso das funções afins e caso das funções quadráticas;
- Vizinhança de um ponto da reta numérica; extremos relativos e absolutos;
- Sentido da concavidade do gráfico de uma função real de variável real.

Estudo elementar das funções quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica e módulo e de funções definidas por ramos

- Extremos, sentido das concavidades, raízes e representação gráfica de funções quadráticas;
- Funções definidas por ramos;
- Estudo da função `x -> a|x - b| + c, a != 0` ;
- As funções `x -> sqrt(x)` e `x -> root(3)(x)` enquanto funções inversas;
- Domínio e representação gráfica das funções definidas analiticamente por `f(x) = a sqrt(x - b) + c` e `f(x) = a root(3)(x - b)` ;
- Estudo de funções definidas por ramos envolvendo funções polinomiais, módulos e radicais.

Resolução de problemas

- Equações e inequações envolvendo as funções polinomiais, raiz quadrada e raiz cúbica, e a composição da função módulo com funções afins e com funções quadráticas;
- Resolução de problemas envolvendo as propriedades geométricas dos gráficos de funções reais de variável real;
- Resolução de problemas envolvendo as funções afins, quadráticas, raiz quadrada, raiz cúbica, módulo, funções definidas por ramos e a modelação de fenómenos reais.

Estatística

Características amostrais

- Sinal de somatório; tradução no formalismo dos somatórios das propriedades associativa e comutativa generalizadas da adição e distributiva generalizada da multiplicação em relação à adição;
- Variável estatística quantitativa como função numérica definida numa população e amostra de uma variável estatística;
- Média de uma amostra; propriedades da média de uma amostra;
- Variância e desvio-padrão de uma amostra; propriedades da variância e do desvio-padrão de uma amostra;
- Percentil de ordem `K`; propriedades do percentil de ordem `K`;
- Resolução de problemas envolvendo a média e o desvio-padrão de uma amostra;
- Resolução de problemas envolvendo os percentis de uma amostra.