Metas Curriculares de Matemática do 12º ano

Cálculo Combinatório

Propriedades das operações sobre conjuntos

- Propriedades comutativa, associativa, de existência de elemento neutro e elemento absorvente e da idempotência da união e da interseção e propriedades distributivas da união em relação à interseção e da interseção em relação à união;
- Distributividade do produto cartesiano relativamente à união.

Introdução ao cálculo combinatório

- Conjuntos equipotentes e cardinais; cardinal da união de conjuntos disjuntos;
- Cardinal do produto cartesiano de conjuntos finitos;
- Arranjos com repetição;
- Número de subconjuntos de um conjunto de cardinal finito;
- Permutações; fatorial de um número inteiro não negativo;
- Arranjos sem repetição;
- Número de subconjuntos de `p` elementos de um conjunto de cardinal `n`; combinações;
- Resolução de problemas envolvendo cardinais de conjuntos, contagens, arranjos e combinações.

Triângulo de Pascal e Binómio de Newton

- Fórmula do binómio de Newton;
- Triângulo de Pascal: definição e construção;
- Resolução de problemas envolvendo o triângulo de Pascal e o binómio de Newton.

Probabilidades

Espaços de probabilidade

- Probabilidade no conjunto das partes de um espaço amostral finito; espaço de probabilidades;
- Acontecimento impossível, certo, elementar e composto; acontecimentos incompatíveis, acontecimentos contrários, acontecimentos equiprováveis e regra de Laplace;
- Propriedades das probabilidades: probabilidade do acontecimento contrário, probabilidade da diferença e da união de acontecimentos; monotonia da probabilidade;
- Resolução de problemas envolvendo a determinação de probabilidades em situações de equiprobabilidade de acontecimentos elementares;
- Resolução de problemas envolvendo espaços de probabilidade e o estudo de propriedades da função de probabilidade.

Probabilidade condicionada

- Probabilidade condicionada;
- Acontecimentos independentes;
- Teorema da probabilidade total;
- Resolução de problemas envolvendo probabilidade condicionada, acontecimentos independentes e o Teorema da probabilidade total.

Funções Reais de Variável Real

Limites e Continuidade

- Teoremas de comparação para sucessões e teorema das sucessões enquadradas;
- Teoremas de comparação envolvendo desigualdades entre funções e os respetivos limites;
- Teorema das funções enquadradas;
- Utilização dos teoremas de comparação e do teorema das funções enquadradas para determinar limites de funções reais de variável real;
- Teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy);
- Teorema de Weierstrass;
- Resolução de problemas envolvendo os teoremas de comparação para o cálculo de limites de sucessões e de funções e a continuidade de funções.

Derivada de segunda ordem, extremos, sentido das concavidades e pontos de inflexão

- Derivada de segunda ordem de uma função;
- Sinal da derivada de segunda ordem num ponto crítico e identificação de extremos locais;
- Pontos de inflexão e concavidades do gráfico de funções duas vezes diferenciáveis;
- Interpretação cinemática da derivada de segunda ordem de uma função posição: aceleração média e aceleração; unidades de medida de aceleração;
- Estudo e traçados de gráficos de funções diferenciáveis;
- Resolução de problemas envolvendo propriedades de funções diferenciáveis.

Aplicação do cálculo diferencial à resolução de problemas

- Resolução de problemas de otimização envolvendo funções diferenciáveis;
- Resolução de problemas envolvendo funções posição, velocidades médias e velocidades instantâneas, acelerações médias e acelerações instantâneas e mudanças de unidades de aceleração;
- Resolução de problemas envolvendo a resolução aproximada de equações da forma `f(x) = g(x)` utilizando uma calculadora gráfica.

Trigonometria e Funções Trigonométricas

Diferenciação de funções trigonométricas

- Fórmulas trigonométricas da soma, da diferença e da duplicação;
- Limite notável `lim_(x -> 0) (sin x) / x`;
- Diferenciabilidade das funções seno, cosseno e tangente;
- Resolução de problemas envolvendo o estudo de funções definidas a partir de funções trigonométricas.

Aplicações aos osciladores harmónicos

- Osciladores harmónicos: amplitude, pulsação, período, frequência e fase;
- Estudo das funções definidas analiticamente por `a sin (bx + c) + d` , `a cos (bx + c) + d` e `a tan (bx + c) + d`;
- Os osciladores harmónicos como soluções de equações diferenciais. Relação com a segunda lei de Newton e com a lei de Hooke;
- Resolução de problemas envolvendo osciladores harmónicos.

Funções Exponenciais e Funções Logarítmicas

Juros compostos e Número de Neper

- Cálculo de juros compostos;
- Resolução de problemas envolvendo juros compostos;
- Sucessão de termo geral `U_n = (1 + 1/n)^n` e relação com juros compostos; capitalização contínua de juros e definição do número de Neper.

Funções exponenciais

- Propriedades da função definida nos números racionais pela expressão `f(x) = a^x, (a > 0)` : monotonia, continuidade, limites e propriedades algébricas;
- Extensão ao caso real: definição das funções exponenciais de base a e respetivas propriedades;
- Função exponencial `e^x` e relação com o limite da sucessão de termo geral `(1 + x/n)^n, x in RR` ;
- Limite notável `lim_(x -> 0) (e^x - 1)/x` e derivada da função exponencial.

Funções logarítmicas

- Função logarítmica de base `a != 1` enquanto bijeção recíproca da função exponencial de base ; logaritmo decimal e logaritmo neperiano;
- Monotonia, sinal, limites e propriedades algébricas dos logaritmos;
- Derivadas das funções logarítmicas e da função `a^x, a > 0` ;
- Derivada da função `x^alpha, x > 0` .

Limites notáveis envolvendo funções exponenciais e logarítmicas

- Limites `lim_(x -> +oo) (e^x)/(x^k)` e `lim_(x -> +oo) (ln x) /x` ;
- Resolução de problemas envolvendo o estudo de funções definidas a partir de funções exponenciais e logarítmicas, as respetivas propriedades algébricas e limites notáveis.

Modelos exponenciais

- A equação `f' = kf, k in RR` , enquanto modelo para o comportamento da medida de grandezas cuja taxa de variação é aproximadamente proporcional à quantidade de grandeza presente num dado instante (evolução de uma população, da temperatura de um sistema ou do decaimento de uma substância radioativa);
- Soluções da equação `f' = kf, k in RR` ;
- Resolução de problemas de aplicação, envolvendo a equação `f' = kf, k in RR` .

Primitivas e Cálculo Integral

Primitivas

- Primitiva de uma função num intervalo; família das primitivas de uma dada função num intervalo;
- Primitivas de funções de referência: `1, x^a, (a in RR \\ {0, -1}), 1/x, e^x, sin x` e `cos x` ;
- Linearidade da primitivação;
- Primitivas de funções da forma `u'(x)f(u(x))` .

Cálculo Integral

- Definição intuitiva da noção de integral de funções contínuas não negativas ou não positivas num intervalo limitado e fechado; extensão a funções contínuas que alternam de sinal um número finito de vezes;
- Origem histórica do símbolo de integral;
- Teorema fundamental do cálculo integral e Fórmula de Barrow;
- Linearidade e monotonia do integral definido; aditividade do integral em relação ao domínio.

Resolução de problemas

- Resolução de problemas envolvendo o cálculo de medidas de área de regiões do plano;
- Resolução de problemas envolvendo a primitivação e a integração de funções contínuas;
- Resolução de problemas envolvendo funções posição, velocidade e aceleração e a primitivação e integração de funções.

Números Complexos

Introdução aos números complexos

- A fórmula de Cardano e a origem histórica dos números complexos;
- Motivação da definição dos números complexos e das operações de soma e produto de números complexos;
- Propriedades das operações `(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)` e `(a,b) xx (c,d) = (ac - bd, ad + bc)` definidas em `RR^2` : associatividade, comutatividade, distributividade de `xx` relativamente a `+` e respetivos elementos neutros; definição do corpo dos números complexos `CC` , enquanto `RR^2` munido destas operações;
- `RR` enquanto subconjunto de `CC`; a unidade imaginária `i = (0,1)`;
- Representação dos números complexos na forma `z = a + ib, a, b in RR` . Parte real e parte imaginária dos números complexos; o plano complexo e os eixos real e imaginário; ponto afixo de um número complexo.

Complexo conjugado e módulo dos números complexos

- Conjugado de um número complexo; propriedades algébricas e geométricas; expressão da parte real e da parte imaginária de um número complexo `z` em função de `z` e `bar z`;
- Módulo de um número complexo; propriedades algébricas e geométricas.

Quociente de números complexos

- Inverso de um número complexo não nulo e quociente de números complexos.

Exponencial complexa e forma trigonométrica dos números complexos

- Complexos de módulo `1` ; a exponencial complexa `e^(i theta) = cos (theta) + i sin (theta), theta in RR` e respetivas propriedades algébricas e geométricas; argumento de um número complexo e representação trigonométrica dos números complexos;
- Fórmulas de De Moivre.

Raízes n-ésimas de números complexos

- Soluções das equações da forma `z^n = w, n in NN, w in CC` ; raízes em `CC` de polinómios do segundo grau de coeficientes reais.

Resolução de problemas

- Resolução de problemas envolvendo propriedades algébricas e geométricas dos números complexos, a respetiva forma trigonométrica, raízes n-ésimas de números complexos e as fórmulas de De Moivre.