Binómio de Newton. Desenvolvimento do Binómio.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Álvaro de Campos, heterónimo de Fernando Pessoa, escreveu: "O Binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso.". A Isaac Newton que viveu entre 1642 e 1727 é-lhe atribuída a seguinte frase: "Se consegui ver mais longe do que os outros foi porque me ergui sobre os ombros de gigantes."
Em matemática, quando se fala em Binómio de Newton estamos a referir-nos a uma fórmula que permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio: ` (x + y)^n = sum_(p=0)^n text( )^nC_p text( ) x^(n-p) text( ) y^p`
Explicação da matéria
Exercícios resolvidos
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12 de Novembro de 2016, 15h36
Mensagem de Sofia
Olá, boa tarde!
Quando no enunciado nos perguntar para determinar o termo em x elevado a quatro, temos de calcular o termo 4? E quando diz: "Determina o termo do 2.º grau", então temos de calcular o termo 2? Por fim, se aparece "mostra que não existe termo independente" o que temos de fazer???
Obrigada, desde já, por me responder a estas "mil e uma perguntas".
Bom fim de semana!
13 de Novembro de 2016, 08h29
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Sofia,
As dúvidas que apresentas são muito frequentes. Nos exercícios em que é necessário utilizar a fórmula do Binómio de Newton é muito comum aparecerem perguntas do género daquelas que colocas. Quando o enunciado de um exercício nos pede para calcular o termo de 4º grau não é para calcular o quarto termo. Temos mesmo que conseguir encontrar o termo cuja parte literal é `x^4`. Se for para encontrar o termo independente ou para mostrar que ele não existe, temos que ir à procura de um termo cuja parte literal é `x^0`. Para perceberes melhor este conceito vê os vídeos referentes ao três primeiros exercícios presentes nesta página. Penso que irás entender.
15 de Novembro de 2016, 19h16
Mensagem de Sofia
No 1.º exercício presente na página, não percebo o porquê de ter igualado 10-k a k? Pode-me esclarecer? Obrigada.
16 de Novembro de 2016, 08h39
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Sofia,
O primeiro exercício pede-nos para encontrar o termo que não depende da variável `x`, ou seja, o termo independente. Isto significa que nesse termo a variável `x` tem que "desaparecer". Assim sendo, naquele passo que referes é feita a seguinte igualdade `10-k=k`, isto acontece precisamente para que o fator `x` do numerador possa cortar com o fator `x` do denominador. Este corte só é possível se ambos tiverem o mesmo expoente. Daí a necessidade daquela igualdade.
29 de Dezembro de 2016, 00h25
Mensagem de Carlos Jorge Domingos
Olá, boa noite!
Não consegui perceber o exercício nº 3 nem com o vídeo. Já vi o vídeo muitas vezes e mesmo assim não percebo.
29 de Dezembro de 2016, 09h35
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Carlos,
O objetivo do exercício é descobrir qual é o termo do desenvolvimento do Binómio de Newton cuja parte literal é `x^7`. Claro que podíamos desenvolver todo o binómio e assim responder à pergunta. Mas isso daria muito trabalho porque são 9 termos e demora um certo tempo até encontrar todos os termos. É sugerido na resolução em vídeo uma forma mais rápida de chegar à resposta. Desenvolvemos a fórmula até ficarmos com o `x` elevado a alguma coisa. Na parte final da resolução como queremos encontrar o termo com expoente `7` igualamos o expoente, temos assim `16-3p=7 hArr p = 3`. A partir daqui é simples, substitui-se o `p` por `3` e obtemos o coeficiente, ficando assim com o termo completo. Espero ter ajudado!
21 de Maio de 2017, 02h44
Mensagem de David
Boas noites,
Como disse no primeiro vídeo (a + b)⁰ = 1 , sendo 0⁰ uma indeterminação, não seria problema uma vez que a ≠ 0 e b ≠ 0, mas e no caso de por exemplo a = 1 e b = -1?
22 de Maio de 2017, 08h49
Mensagem de Vitor Nunes
Olá David,
Nesse caso, nem se aplicaria o Binómio de Newton. A expressão matemática `0^0` é muitas vezes considerada como sendo uma indeterminação, ou seja, é uma expressão matemática cujo valor não é possível determinar. Outras vezes esta expressão é considerada, por convenção, como sendo igual a 1.
27 de Março de 2024, 19h49
Mensagem de Ana Pereira
Determinar k de modo que o quarto termo do desenvolvimento de ((1/x)-(3x^n))^k seja igual a -270x^4
Se for possível enviar-me a resolução agradeço.
Ana
28 de Março de 2024, 10h59
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Ana,
Não te vou dar a resposta, mas vou dar-te os passos que deves seguir para chegar à solução. Existe uma fórmula que podemos utilizar para obter qualquer um dos termos do Binómio de Newton, o que nos poupa o trabalho de calcular todo o seu desenvolvimento. A fórmula é a seguinte: `T_(p+1) = text()^nC_p . a^(n-p).b^p`.
Logo no teu caso, como pretendes o quarto termo do desenvolvimento, poderás fazer o seguinte: `T_(4) = text()^kC_3 . a^(k-3).b^3`, substituindo `a` e `b` pelo primeiro e segundo termo do binómio respetivamente. Após este passo, basta igualar a `-270x^4` e a resolução dessa equação irá permitir-te encontrar o valor do `k`. Espero ter ajudado!
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