Aulas > 11º ano > Funções Reais de Variável Real > Aula nº 3

Limites de sucessões. Limite segundo Heine.

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Vê o(s) vídeo(s) que contém a explicação da matéria e depois tenta resolver exercícios sobre este tema. Bom estudo!

Aula Nº: 3 / Total: 11
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Introdução

A formalização do conceito de limite é feita recorrendo às sucessões de números reais:

Dada uma função `f`, diz-se que `f(x)` tende para `b` quando `x` tende para `a`, e escreve-se `lim_(x->a) f(x)=b`, se a toda a sucessão `(X_n)` de valores de `x` que tende para `a` por valores do domínio diferentes de `a`, corresponde uma sucessão `f(X_n)` de valores de `f(x)` que tende para `b`.

A definição anterior é devida ao matemático alemão Heinrich Eduard Heine e é conhecida precisamente como definição de limite segundo Heine.




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Foram feitos 10 comentários/dúvidas.
09 de Julho de 2016, 06h32

Mensagem de Euclides

O que são limites?

12 de Julho de 2016, 08h31

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Euclides,
Tens um nome muito interessante, relacionado com uma grande personalidade matemática!
Falamos em limites quando queremos descobrir para qual valor uma sucessão ou uma função tende à medida que o seu termo ou objeto se aproxima de um determinado valor. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e estudar a continuidade de funções.

23 de Janeiro de 2017, 22h35

Mensagem de Rafael

Um enorme obrigado pelas suas aulas professor. É das poucas matérias em que tenho dificuldades, mas assim ajuda muito!

24 de Janeiro de 2017, 08h20

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rafael,
É muito gratificante para nós quando vemos o nosso trabalho ser reconhecido. E o maior reconhecimento que podemos obter dos nossos alunos é ver que eles estão a aprender e além disso sentir que estão a gostar do que estão a aprender. Continua assim, tenho a certeza que vais obter excelentes resultados!

21 de Fevereiro de 2017, 11h59

Mensagem de Cat

Bom dia professor. Tenho uma dúvida em relação aos valores à direita e à esquerda de um dado número, quando aplicados em limites. Por exemplo, no caso de se querer o valor de lim g(x) quando x->2-, após substituir o valor na função se der uma fração do tipo 3/0, o 0 é um 0+ ou um 0-? E o valor do lim será +oo ou -oo?
Tenho dúvidas em relação a esses valores e já por algumas vezes que o resultado me deu mal, devido a não saber se o valor é + ou - :/ Obrigada.

22 de Fevereiro de 2017, 08h56

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Cat,
Podes utilizar a seguinte estratégia: se por exemplo estiveres a calcular um exercício em que `x->2^+` então substitui o `x` por `2,1` e verifica se o resultado dá positivo, nesse caso trata-se de `0^+`, caso contrario é um `0^-`. Se `x->2^-` então substitui o `x` por `1,9` e faz a mesma verificação anterior. Depois de saber se é um zero mais ou um zero menos, basta aplicar a regra dos sinais na divisão, para decidir se o valor da fração é um mais infinito ou um menos infinito. Boa sorte para os testes!

23 de Novembro de 2017, 14h20

Mensagem de Inês

Boa tarde, porque é que quando o limite de alguma coisa dá um número sobre zero ( sem sinal ) não existe ?
Nestes casos devo calcular os limites laterais para comprovar que são diferentes e logo o limite não existe ?

24 de Novembro de 2017, 12h03

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Inês,
Primeiro esclarecimento: não é verdade que o limite não existe quando temos um número sobre zero. O problema deste caso é que quando o denominador tende para zero, o valor da fração tende para infinito, mas não sabemos se é mais infinito ou menos infinito! Para descobrir isso, precisamos de verificar, se o zero do denominador é um zero mais ou um zero menos. E é aqui que entram os limites laterais, se forem iguais o limite existe, se forem diferentes não existe!

09 de Janeiro de 2019, 17h59

Mensagem de Ben

Gostei de matéria. Consegui entender um pouco mais sobre limites. Isso já é um bom sinal!

09 de Janeiro de 2019, 18h23

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ben,
Ainda bem, fico contente por saber. O meu conselho a todos os alunos é que resolvam o maior número de exercícios possível. Quanto mais praticarem, mais fácil tudo se vai tornando. Tentem resolver os exercícios sozinhos antes de ver a resolução em vídeo. Depois de ver o vídeo tudo parece muito fácil porque estamos a seguir o raciocínio de outra pessoa. O mais difícil muitas vezes é chegarmos lá sozinhos. Por isso força e bom trabalho!

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