Teorema de Bolzano e corolário.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Bernard Bolzano nasceu em Praga, tendo sido reconhecido como filósofo, matemático e sacerdote. No domínio da matemática, foram importantes os seus contributos dados nas teorias das funções. Na época, alguns conceitos relacionados com continuidade e derivabilidade ainda não estavam completamente esclarecidos e Bolzano teve um papel importante nessa clarificação.
O Teorema de Bolzano também conhecido por “Teorema dos Valores Intermédios” ou ainda por “Teorema de Bolzano-Cauchy” é muito usado na matemática por causa do seu corolário que permite verificar a existência ou de não de zeros numa função contínua num intervalo. O teorema refere o seguinte:
Se `f` é uma função contínua num intervalo `[a,b]`, qualquer que seja o valor k compreendido entre `f(a)` e `f(b)`, existe pelo menos um valor `c` compreendido entre `a` e `b` tal que `f(c) = k`.
Explicação da matéria
Duração: 12:31
Duração: 06:42
Exercícios resolvidos
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20 de Maio de 2015, 23h42
Mensagem de Filipe Prado
Boa noite. Na resolução do exercício 10, na parte final, não se deveria dizer que pelo Corolário tem pelo menos uma solução em ]1,3[ e não em [1,3]??
Gosto muito do seu projecto, tem sido muito útil. Obrigado
21 de Maio de 2015, 08h47
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Filipe,
Sim tens toda a razão, no final da resolução em vídeo do exercício número 10 deveria estar referido que o intervalo é aberto e não fechado, uma vez que o Corolário do Teorema de Bolzano diz que: "Se `f` é uma função contínua num intervalo fechado `[a,b]` e `f(a)` e `f(b)` têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real `c` pertencente ao intervalo aberto `]a,b[` tal que `f(c)=0`".
Obrigado pela chamada de atenção e boa sorte para o exame!
15 de Julho de 2016, 19h53
Mensagem de Bruna Morais
Boa tarde, eu sou nova aqui na sua página, não sei se tira dúvidas ou não. Mas de qualquer forma não percebi o método de resolução do exercício 3. Ou melhor percebo o porquê de ser a opção D mas não consigo entender o porquê de as outras opções não serem verdadeiras.
Tem como esclarecer-me? Por favor. Obrigada.
17 de Julho de 2016, 14h01
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Bruna,
Sim, respondo a dúvidas, desde que estejam relacionados com os exercícios propostos. No vídeo com a resolução do exercício fiz um esboço daquilo que poderia ser a função `f`. Não sei se o esboço corresponde ou não à realidade porque não tenho informação suficiente no enunciado para desenhar o gráfico da função de forma mais precisa. É precisamente essa falta de informação que me impede de afirmar que as opções A), B) e C) são verdadeiras. Tenta entender que eu não sei se essas opções são verdadeiras. Eu apenas não posso afirmar com a pouca informação que tenho que elas são necessariamente verdadeiras. Por exemplo, a opção C) refere que a função possui um zero. Eu não sei se tem ou não. Pode ter ou pode não ter. Não sei! Espero ter ajudado.
09 de Fevereiro de 2017, 18h24
Mensagem de Pedro Nunes
Não leve a mal, mas na resolução do exercício 2 julgo que se enganou ao simplificar a equação. Posso comprovar isto visto que indo à máquina gráfica e pondo em Y1= e^x + x -3/2 vai dar um gráfico igual a se meter em Y2= e^x - 3 +x + 3/2, no entanto se eu puser Y= 2e^x + 2x -3 o gráfico que me vai dar vai ser diferente. Curiosamente foi-lhe dar a resposta correcta, e tendo em conta que é uma escolha múltipla não faz mal, mas se fosse um exercício de desenvolvimento já era diferente.Obrigado :)
09 de Fevereiro de 2017, 22h42
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Pedro,
É impossível levar a mal quando um aluno me aponta um erro. Pelo contrário, fico agradecido porque "errare humanum est" e é através do reconhecimento dos nossos erros que vamos melhorando. Apresentas uma dúvida muito curiosa, que eu me lembro perfeitamente de ter, quando estudava matemática no secundário. Aquilo que eu estou a simplificar não é uma função é uma equação. O que é totalmente diferente. De facto, a função, ou expressão `e^x-3+x+3/2` é igual à expressão ` e^x+x-3/2`, até aqui concordo contigo e a calculadora gráfica comprova isso mesmo. Mas, a equação ` e^x-3+x+3/2=0`, é equivalente à equação `2e^x+2x-3=0`. Isto porque ambas possuem os mesmos zeros, algo que também podes comprovar na calculadora gráfica. Em conclusão, a resolução da equação está correta, eu apenas me limitei a desembaraçar de denominadores e a simplificar a equação. Tendo em conta, que possuis o nome de um grande matemático, tenho a certeza que vais entender a diferença.
27 de Abril de 2017, 11h05
Mensagem de Raquel
Boa tarde, podia me explicar porque é que no exercício 2 temos que igualar as duas funções?
28 de Abril de 2017, 09h02
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Raquel,
Na verdade o enunciado é um pouco estranho. Até a mim me faz alguma confusão, a forma como a questão é apresentada. Mas repara neste pequeno pormenor: não são duas funções, trata-se de uma função e de uma equação. O enunciado diz-nos qual é a expressão analítica da função `f(x)=e^x-3` e pretendemos resolver uma equação em que o primeiro membro dessa equação é a função `f(x)`. Logo, para conseguir resolver a equação temos que substituir o primeiro membro pela expressão analítica da função dada.
08 de Junho de 2017, 14h23
Mensagem de Maria Pires
Olá, boa tarde!
Podia me explicar qual é a definição exata do Teorema de Bolzano-Cauchy?
09 de Junho de 2017, 09h04
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Maria,
A definição é aquela que consta do texto introdutório desta página, ou seja, se `f` é uma função contínua num intervalo `[a,b]`, qualquer que seja o valor `k` compreendido entre `f(a)` e `f(b)`, existe pelo menos um valor `c` compreendido entre `a` e `b` tal que `f(c)=k`. Normalmente, este teorema é mais utilizado por causa do seu corolário, que nos permite provar que uma função contínua tem pelo menos um zero num determinado intervalo.
04 de Julho de 2020, 10h51
Mensagem de Inês Franky
Olá espero que esteja tudo bem consigo. Na lição do corolário do teorema de bolzano fiquei sem perceber se a condição f(a) x f(b) = 0 pode ser usada como prova de que se verifica pelo menos um zero na função dentro do intervalo pedido. Obrigada :)
04 de Julho de 2020, 14h25
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Inês,
O corolário do Teorema de Bolzano permite afirmar que uma função contínua possui pelo menos um zero num dado intervalo `[a,b]`, se `f(a)xxf(b)<0`. Isto equivale a afirmar que `f(a)` e `f(b)` têm sinais contrários. É fácil perceber que, se a função é contínua nesse intervalo, a única forma de passar de uma imagem com sinal negativo para outra com sinal positivo, requer a passagem de pelo menos uma vez, pelo zero.
06 de Julho de 2020, 01h17
Mensagem de Afonso Pires
Olá! Percebidas as questões relativas ao Teorema e ao Corolário de Bolzano tenho apenas uma dúvida. É estritamente necessário utilizar o Corolário para questões em que se quer provar que existe pelo menos um zero num dado intervalo? É que apenas com o Teorema também o conseguimos provar, certo? Obrigado desde já.
06 de Julho de 2020, 08h50
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Afonso,
O corolário é uma afirmação que se deduz, a partir de uma outra proposição, que já foi demonstrada. Logo, o corolário do Teorema de Bolzano é uma consequência imediata do próprio teorema. Assim sendo, claro que podemos usar o Teorema de Bolzano para provar que uma determinada função tem zeros.
25 de Novembro de 2020, 13h19
Mensagem de Alice Frasco
Boa tarde,
Devido à situação pandémica em que nos encontramos, estou a faltar à escola, pois estou em isolamento profilático, e queria agradecer profundamente estes recursos. As explicações e os exercícios estão a possibilitar que consiga seguir a matéria desde casa e estou profundamente grata pelo seu trabalho.
Muito obrigada e continue o bom trabalho.
25 de Novembro de 2020, 14h23
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Alice,
Obrigado pelo elogio. Espero que em termos de saúde esteja tudo bem e que possas o quanto antes voltar às aulas.
26 de Junho de 2023, 20h06
Mensagem de Sara Marques
Eu fiquei com uma dúvida após observar os vídeos sobre este assunto. Nós sabemos que o teorema comprova que por exemplo existe pelo menos um zero num intervalo aberto, mas se no enunciado aparecer um intervalo fechado como concluímos o teorema? Obrigada :)
27 de Junho de 2023, 08h58
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Sara,
Repara que se existe um zero num determinado intervalo aberto, então esse mesmo zero também estará presente no intervalo fechado. Isto é o equivalente a afirmar que se existe um zero no intervalo `[4,6]`, então forçosamente também posso garantir que existe um zero no intervalo `[3,7]`, uma vez que este último intervalo de números contém o anterior, da mesma forma que um intervalo fechado contém um intervalo aberto com os mesmos extremos. Espero ter sido esclarecedor.
20 de Novembro de 2024, 21h38
Mensagem de Tiago Pereira
Olá, só queria aqui expressar o meu prazer, de ver que você ainda responde a dúvidas colocadas e mantém-se ativo desde pelo menos 2015-2023 e isso é impressionante! Não conhecia o seu trabalho e deparei me com este seu site agora, em prol de estudar o Teorema de Bolzano. Nada a apontar, sem ser que o que está aqui a ser feito é algo de grande mérito. Abraço e uma boa continuação!
21 de Novembro de 2024, 18h40
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Tiago,
Obrigado pelas palavras de agradecimento e incentivo. Deste lado, sabe sempre bem quando o nosso trabalho é elogiado e reconhecido. Bom estudo!
17 de Dezembro de 2024, 16h56
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Maria,
Sim, confirmo. Tudo depende da forma como apresentas a resolução. Seja qual for a equação, que estamos a resolver, podemos sempre passar todos os termos para o primeiro membro e igualar a zero. Desta forma, podemos utilizar o corolário para provar que a equação dada tem pelo menos uma solução no intervalo pedido. Mas se não fizeres desta forma, não há problema, também podes utilizar o Teorema de Bolzano para mostrar que a equação tem solução.
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