Aulas > 12º ano > Funções Reais de Variável Real > Aula nº 3

Teorema de Bolzano e corolário.

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Aula Nº: 3 / Total: 9
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Introdução

Bernard Bolzano nasceu em Praga, tendo sido reconhecido como filósofo, matemático e sacerdote. No domínio da matemática, foram importantes os seus contributos dados nas teorias das funções. Na época, alguns conceitos relacionados com continuidade e derivabilidade ainda não estavam completamente esclarecidos e Bolzano teve um papel importante nessa clarificação.

O Teorema de Bolzano também conhecido por “Teorema dos Valores Intermédios” ou ainda por “Teorema de Bolzano-Cauchy” é muito usado na matemática por causa do seu corolário que permite verificar a existência ou de não de zeros numa função contínua num intervalo. O teorema refere o seguinte:
Se `f` é uma função contínua num intervalo `[a,b]`, qualquer que seja o valor k compreendido entre `f(a)` e `f(b)`, existe pelo menos um valor `c` compreendido entre `a` e `b` tal que `f(c) = k`.




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Foram feitos 10 comentários/dúvidas.
20 de Maio de 2015, 23h42

Mensagem de Filipe Prado

Boa noite. Na resolução do exercício 10, na parte final, não se deveria dizer que pelo Corolário tem pelo menos uma solução em ]1,3[ e não em [1,3]??
Gosto muito do seu projecto, tem sido muito útil. Obrigado

21 de Maio de 2015, 08h47

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Filipe,
Sim tens toda a razão, no final da resolução em vídeo do exercício número 10 deveria estar referido que o intervalo é aberto e não fechado, uma vez que o Corolário do Teorema de Bolzano diz que: "Se `f` é uma função contínua num intervalo fechado `[a,b]` e `f(a)` e `f(b)` têm sinais contrários, então existe pelo menos um valor real `c` pertencente ao intervalo aberto `]a,b[` tal que `f(c)=0`".
Obrigado pela chamada de atenção e boa sorte para o exame!

15 de Julho de 2016, 19h53

Mensagem de Bruna Morais

Boa tarde, eu sou nova aqui na sua página, não sei se tira dúvidas ou não. Mas de qualquer forma não percebi o método de resolução do exercício 3. Ou melhor percebo o porquê de ser a opção D mas não consigo entender o porquê de as outras opções não serem verdadeiras.
Tem como esclarecer-me? Por favor. Obrigada.

17 de Julho de 2016, 14h01

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Bruna,
Sim, respondo a dúvidas, desde que estejam relacionados com os exercícios propostos. No vídeo com a resolução do exercício fiz um esboço daquilo que poderia ser a função `f`. Não sei se o esboço corresponde ou não à realidade porque não tenho informação suficiente no enunciado para desenhar o gráfico da função de forma mais precisa. É precisamente essa falta de informação que me impede de afirmar que as opções A), B) e C) são verdadeiras. Tenta entender que eu não sei se essas opções são verdadeiras. Eu apenas não posso afirmar com a pouca informação que tenho que elas são necessariamente verdadeiras. Por exemplo, a opção C) refere que a função possui um zero. Eu não sei se tem ou não. Pode ter ou pode não ter. Não sei! Espero ter ajudado.

09 de Fevereiro de 2017, 18h24

Mensagem de Pedro Nunes

Não leve a mal, mas na resolução do exercício 2 julgo que se enganou ao simplificar a equação. Posso comprovar isto visto que indo à máquina gráfica e pondo em Y1= e^x + x -3/2 vai dar um gráfico igual a se meter em Y2= e^x - 3 +x + 3/2, no entanto se eu puser Y= 2e^x + 2x -3 o gráfico que me vai dar vai ser diferente. Curiosamente foi-lhe dar a resposta correcta, e tendo em conta que é uma escolha múltipla não faz mal, mas se fosse um exercício de desenvolvimento já era diferente.Obrigado :)

09 de Fevereiro de 2017, 22h42

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Pedro,
É impossível levar a mal quando um aluno me aponta um erro. Pelo contrário, fico agradecido porque "errare humanum est" e é através do reconhecimento dos nossos erros que vamos melhorando. Apresentas uma dúvida muito curiosa, que eu me lembro perfeitamente de ter, quando estudava matemática no secundário. Aquilo que eu estou a simplificar não é uma função é uma equação. O que é totalmente diferente. De facto, a função, ou expressão `e^x-3+x+3/2` é igual à expressão ` e^x+x-3/2`, até aqui concordo contigo e a calculadora gráfica comprova isso mesmo. Mas, a equação ` e^x-3+x+3/2=0`, é equivalente à equação `2e^x+2x-3=0`. Isto porque ambas possuem os mesmos zeros, algo que também podes comprovar na calculadora gráfica. Em conclusão, a resolução da equação está correta, eu apenas me limitei a desembaraçar de denominadores e a simplificar a equação. Tendo em conta, que possuis o nome de um grande matemático, tenho a certeza que vais entender a diferença.

27 de Abril de 2017, 11h05

Mensagem de Raquel

Boa tarde, podia me explicar porque é que no exercício 2 temos que igualar as duas funções?

28 de Abril de 2017, 09h02

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Raquel,
Na verdade o enunciado é um pouco estranho. Até a mim me faz alguma confusão, a forma como a questão é apresentada. Mas repara neste pequeno pormenor: não são duas funções, trata-se de uma função e de uma equação. O enunciado diz-nos qual é a expressão analítica da função `f(x)=e^x-3` e pretendemos resolver uma equação em que o primeiro membro dessa equação é a função `f(x)`. Logo, para conseguir resolver a equação temos que substituir o primeiro membro pela expressão analítica da função dada.

08 de Junho de 2017, 14h23

Mensagem de Maria Pires

Olá, boa tarde!
Podia me explicar qual é a definição exata do Teorema de Bolzano-Cauchy?

09 de Junho de 2017, 09h04

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Maria,
A definição é aquela que consta do texto introdutório desta página, ou seja, se `f` é uma função contínua num intervalo `[a,b]`, qualquer que seja o valor `k` compreendido entre `f(a)` e `f(b)`, existe pelo menos um valor `c` compreendido entre `a` e `b` tal que `f(c)=k`. Normalmente, este teorema é mais utilizado por causa do seu corolário, que nos permite provar que uma função contínua tem pelo menos um zero num determinado intervalo.

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