Aulas > 12º ano > Aula nº 49

Números complexos ou imaginários.

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Números Complexos

Lição nº: 1 / Total: 6

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Introdução

introdução matemática

Ao longo da escolaridade foste ampliando o conceito de número, à semelhança do que aconteceu na História da Matemática ao longo dos séculos (números naturais, fracionários, negativos, irracionais). E, ampliando o conceito de número, alargaram-se as possibilidades do cálculo algébrico. Vais agora conhecer um novo episódio dessa evolução: a ampliação do conjunto dos números reais para o dos números complexos.
Esta nova ampliação veio responder a problemas levantados pela resolução de equações, quando conduzem a raízes quadradas de números negativos. No entanto, e ao contrário do que seria natural supor-se, as raízes quadradas de números negativos não surgiram a propósito da resolução de equações do 2º grau. Foi ao resolver equações do 3º grau que, pela primeira vez, se admitiram raízes quadradas de números negativos. Após séculos de lentos progressos na evolução do saber matemático, desde a escola de Alexandria, surge em Itália, no século XVI, um grupo de matemáticos, brilhantes, mestres na famosa Universidade de Bolonha, que atraía estudantes de toda a Europa. Deve-se a esse grupo a descoberta, verdadeiramente sensacional naquela época, de uma fórmula resolvente para equações do 3º grau. Mas havia aspectos muito obscuros no comportamento dessa fórmula, nomeadamente no facto de a sua aplicação conduzir a raízes quadradas de números negativos em casos em que eram conhecidas soluções reais para a equação.



Exercícios resolvidos

Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano


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Foram feitos 8 comentários/dúvidas.
10 de Maio de 2015, 16h16

Mensagem de Tiago

Boa tarde! O 1º vídeo está completo? É que acaba de repente e no vídeo seguinte já tem uma igualdade que supostamente estaria no vídeo anterior.

11 de Maio de 2015, 14h02

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Tiago,
Sim, tens razão, o primeiro vídeo relativo aos números complexos acaba de forma abrupta. Não ficou bem gravado. Mas, o assunto volta a ser retomado no vídeo seguinte. Obrigado pela observação.

04 de Maio de 2017, 16h22

Mensagem de Sofia

Olá boa tarde! No terceiro vídeo, aquando de um exemplo prático da divisão de numéros complexos, mencionou que era indiferente colocar o caso notável (a+b) (a-b) ou aplicar a propriedade distributiva mas vão dar sinais diferentes o que vai alterar o resultado. Pode explicar, por favor? Desde já, obrigada

05 de Maio de 2017, 08h45

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Sofia,
Há um equivoco da tua parte em relação ao número do exercício, trata-se do quarto vídeo e não do terceiro! Pela lógica, aplicar o caso notável Diferença de Quadrados ou aplicar a propriedade distributiva não pode dar sinais diferentes. Repara que `(a+b)(a-b) = a^2 - b^2`, aplicando a distributiva ficaria `(a+b)(a-b) = a^2 -ab + ba - b^2 = a^2 - b^2`. Possivelmente estás a fazer alguma troca no sinal da parte imaginária. Não te esqueças que `i^2 = -1`.

26 de Junho de 2020, 20h43

Mensagem de Sofia

Olá, não entendo a solução do exercício 16. Diz para experimentarmos 1, -1, 2, -2... mas porquê? De onde surgiram estes números? Qual é o fundamento? Cumprimentos

27 de Junho de 2020, 08h59

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Sofia,
O objetivo é utilizar a Regra de Ruffini para conseguir fatorizar o polinómio e assim deixar de ter um polinómio de terceiro grau. Mas para isso, temos que conhecer pelo menos uma das raízes do polinómio. Como o enunciado não nos dá nenhum dos zeros do polinómio, temos que ser nós a encontrá-los. A forma mais fácil é utilizar o Teorema do Resto e ir testando números. Neste tipo de exercícios, normalmente, pelo menos um dos zeros é um número inteiro. Posto isto, existe um teorema que afirma que se um polinómio tiver raízes inteiras então esses números são divisores do termo independente. Como no exercício 16 o termo independente do polinómio é o número 6, então forçosamente os seus zeros (se existir algum que seja inteiro) terão que ser o 1, 2, 3 ou um dos respetivos simétricos.

27 de Junho de 2020, 22h11

Mensagem de Carlos

Olá!
Fiquei com algumas dúvidas quanto à resolução do exercício 17:
1. Tendo uma raiz de uma equação com números complexos, o conjugado dessa mesma raiz é sempre! um zero da equação? Se não, porquê em que situações é que é?
2. Porque é que, como consequência da aplicação da Regra de Ruffini, foi escrito (z-(2+i))(z-(2-i))? Eu percebi a escrita do primeiro e último factor, (z+4), mas não percebo o porquê do "z-(...)".
Obrigado!

29 de Junho de 2020, 14h38

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carlos,
Em relação à primeira pergunta a resposta é não. Por vezes, o conjugado de uma das raízes poderá ser um dos zeros da equação, mas não é possível prever quando é que isso é verdade. Repara nas equações de segundo grau, pode acontecer que um dos zeros seja 4 e o outro ser o seu simétrico. Mas nem sempre é assim! Isto está relacionado com a paridade da função. Relativamente à segunda pergunta, basta recordar o seguinte, qualquer polinómio pode ser fatorizado na forma `a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_n)`, em que `x_1, x_2, ..., x_n` são os zeros do polinómios, e `a` é o coeficiente do termo de maior grau. Esta regra é válida, não só para polinómios com raízes reais, como também para aqueles que tiverem raízes complexas. Nesses casos, ficará `a(z-z_1)(z-z_2)(z-z_n)`.

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