Equação geral do plano. Vetor normal ao plano.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Já foi referido no 10º ano, que um plano pode ser definido por:
a) três pontos não colineares;
b) duas retas estritamente paralelas;
c) duas retas concorrentes;
d) uma reta e um ponto que não pertença à reta.
Dizer que cada um desses conjuntos de elementos define um plano é dizer que existe um e só um plano que os contém.
Explicação da matéria
Exercícios resolvidos
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27 de Dezembro de 2016, 23h57
Mensagem de Pedro Juliano
Boa noite Professor.
Assisti atentamente à lição e não consigo, a partir desta, encontrar uma solução que me permita escrever uma eq. geral do plano que contém os pontos P(-2, 1, 3) e Q(3, 0, 3) e que é paralelo ao eixo Oy. Bem sei que esta minha dúvida vai para além dos exercícios sugeridos na ficha de trabalho associada à aula mas pedia-lhe o especial favor de me dar uma indicação de como devo ultrapassar este obstáculo. Obrigado pelo cuidado. Pedro.
28 de Dezembro de 2016, 09h44
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Pedro,
Se o plano contém os pontos `P` e `Q` então o vetor `vec(PQ)` é um dos vetores diretores do plano. Vamos começar por calcular as coordenadas desse vetor: `vec(PQ) = Q - P = (5,-1,0)`. Quanto ao eixo `Oy` um dos seus vetores diretores poderá ser: `vec(y) = (0,1,0)`. Por outro lado, se o plano que pretendemos encontrar é paralelo ao eixo `Oy` então o vetor normal desse plano é perpendicular ao vetor diretor `vec(y)`. Da mesma forma, esse plano também é perpendicular ao vetor `vec(PQ)`. Vamos supor que as coordenadas do vetor normal são `vec(n)=(a,b,c)` e nesse caso obtemos o seguinte sistema:
`{(vec(PQ).vec(n) = 0),(vec(y).vec(n) = 0):} hArr {((5,-1,0).(a,b,c) = 0),((0,1,0).(a,b,c) = 0):}`
Da resolução do sistema resulta que um dos vetores normais do plano poderá ser `vec(n) = (0,0,1)`. O resto da resolução penso que é simples, bastar utilizar este vetor normal e um ponto do plano para chegar à equação geral do plano.
12 de Janeiro de 2018, 22h32
Mensagem de Tiago
Olá,
No 1º exercício a reta AF é definida, parcialmente, na forma cartesiana pelo vetor (FA). Esta mesma reta pode ser também definida pelo vetor (AF)? Obrigado.
13 de Janeiro de 2018, 10h16
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Tiago,
De facto pode. Para definir uma reta precisamos de conhecer as coordenadas de um dos seus vetores diretores. O importante é que a direção do vetor diretor escolhido seja igual à direção da reta, quanto ao sentido do vetor é indiferente. Aliás, como uma reta não tem principio nem fim, ela também não tem sentido. Assim sendo, é indiferente escolher o vetor `vec(AF)` ou o vetor `vec(FA`.
14 de Julho de 2018, 09h08
Mensagem de Lino da Veiga
Bom dia professor,
No último exercício, seria possível calcular as coordenadas dos pontos A e B através da intersecção da reta r com a superfície de uma esfera com as coordenadas do centro em (36/49, -18/49, 12/49)? Tentei fazer por esse método, mas não consegui. Se possível quais seriam os passos a dar.
Obrigado.
14 de Julho de 2018, 10h57
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Lino,
Não entendi a dúvida. Pretendes calcular as coordenadas dos pontos `A` e `B`? Mas isso já nos é dado no enunciado! Aquilo que se pretende é descobrir uma equação vetorial da reta `r`, para isso, apenas precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor. Logo, como a própria resolução em vídeo indica, o primeiro passo consiste em encontrar as coordenadas desse vetor diretor que sabemos ser perpendicular ao plano.
14 de Julho de 2018, 11h16
Mensagem de Lino da Veiga
Refiro-me ao exercício em que nos é pedido os pontos que distam 7 unidades do plano.
15 de Julho de 2018, 11h03
Mensagem de Vitor Nunes
Olá novamente,
Agora percebi, como falavas dos pontos `A` e `B` não tinha entendido a dúvida. É possível, mas não é a maneira mais fácil. Em todo o caso, trata-se de fazer a interseção das duas equações, a equação vetorial da reta `r` com a equação da superfície esférica de raio 7. Começa por simplificar a equação vetorial da reta `r`. De seguida, utiliza essas coordenadas e substitui na equação da superfície esférica. Após este passo ficas com uma única variável o `k`, numa equação de segundo grau. Determina os dois valores desse `k` e vais obter as coordenadas dos pontos de interseção, que correspondem aos dois pontos que distam 7 unidades do plano `ABC` e pertencem à reta `r`. Espero ter ajudado!
14 de Março de 2021, 20h42
Mensagem de Henrique
Olá professor!
No ultimo exercício não me deu o vetor (1, -1, 0) como vetor normal, mas sim o vetor (-1, 1, 0), ficando assim a minha equação do plano: -x + y -1 = 0
Como os dois vetores, o da solução e o meu, são o mesmo vetor mas em sentidos diferentes, gostava de saber, mesmo não sendo igual à da solução, se a minha equação está certa?
Cumprimentos!
15 de Março de 2021, 08h13
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Henrique,
Um vetor normal ao plano é um vetor perpendicular a este. Assim sendo, existem vários vetores que podem ser considerados normais ao plano. Como o teu vetor é colinear com o meu, então a tua solução também está certa.
22 de Janeiro de 2023, 16h10
Mensagem de Maria
No exercício 4, em vez da resolução proposta, eu podia a partir do vetor AB(-1,4,-1), encontrar um vetor perpendicular como (0,1,4) e a partir deste substituir o a, o b e o c na fórmula? Depois substitui o x, y e z pelas coordenadas de C para descobrir d.
Posso fazer assim? É que o resultado final deu mesmo muito diferente do que era suposto…
22 de Janeiro de 2023, 18h26
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Maria,
Não pode ser como referes. Para chegar a equação do plano é necessário encontrar o seu vetor normal. Acontece que nada te garante que um vetor perpendicular ao `vec(AB)` também é perpendicular ao plano. Por outras palavras, um vetor pode ser perpendicular ao teu vetor `vec(AB)` sem ser perpendicular ao plano. Para garantir que um vetor é perpendicular ao plano, ele tem que ser perpendicular a dois vetores não colineares do plano.
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