Aulas > 11º ano > Geometria Analítica > Aula nº 10

Equação geral do plano. Vetor normal ao plano.

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Aula Nº: 10 / Total: 14
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Introdução

Já foi referido no 10º ano, que um plano pode ser definido por:
a) três pontos não colineares;
b) duas retas estritamente paralelas;
c) duas retas concorrentes;
d) uma reta e um ponto que não pertença à reta.
Dizer que cada um desses conjuntos de elementos define um plano é dizer que existe um e só um plano que os contém.


Exercícios resolvidos



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Foram feitos 8 comentários/dúvidas.
27 de Dezembro de 2016, 23h57

Mensagem de Pedro Juliano

Boa noite Professor.
Assisti atentamente à lição e não consigo, a partir desta, encontrar uma solução que me permita escrever uma eq. geral do plano que contém os pontos P(-2, 1, 3) e Q(3, 0, 3) e que é paralelo ao eixo Oy. Bem sei que esta minha dúvida vai para além dos exercícios sugeridos na ficha de trabalho associada à aula mas pedia-lhe o especial favor de me dar uma indicação de como devo ultrapassar este obstáculo. Obrigado pelo cuidado. Pedro.

28 de Dezembro de 2016, 09h44

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Pedro,
Se o plano contém os pontos `P` e `Q` então o vetor `vec(PQ)` é um dos vetores diretores do plano. Vamos começar por calcular as coordenadas desse vetor: `vec(PQ) = Q - P = (5,-1,0)`. Quanto ao eixo `Oy` um dos seus vetores diretores poderá ser: `vec(y) = (0,1,0)`. Por outro lado, se o plano que pretendemos encontrar é paralelo ao eixo `Oy` então o vetor normal desse plano é perpendicular ao vetor diretor `vec(y)`. Da mesma forma, esse plano também é perpendicular ao vetor `vec(PQ)`. Vamos supor que as coordenadas do vetor normal são `vec(n)=(a,b,c)` e nesse caso obtemos o seguinte sistema:
`{(vec(PQ).vec(n) = 0),(vec(y).vec(n) = 0):} hArr {((5,-1,0).(a,b,c) = 0),((0,1,0).(a,b,c) = 0):}`
Da resolução do sistema resulta que um dos vetores normais do plano poderá ser `vec(n) = (0,0,1)`. O resto da resolução penso que é simples, bastar utilizar este vetor normal e um ponto do plano para chegar à equação geral do plano.

12 de Janeiro de 2018, 22h32

Mensagem de Tiago

Olá,
No 1º exercício a reta AF é definida, parcialmente, na forma cartesiana pelo vetor (FA). Esta mesma reta pode ser também definida pelo vetor (AF)? Obrigado.

13 de Janeiro de 2018, 10h16

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Tiago,
De facto pode. Para definir uma reta precisamos de conhecer as coordenadas de um dos seus vetores diretores. O importante é que a direção do vetor diretor escolhido seja igual à direção da reta, quanto ao sentido do vetor é indiferente. Aliás, como uma reta não tem principio nem fim, ela também não tem sentido. Assim sendo, é indiferente escolher o vetor `vec(AF)` ou o vetor `vec(FA`.

14 de Julho de 2018, 09h08

Mensagem de Lino da Veiga

Bom dia professor,
No último exercício, seria possível calcular as coordenadas dos pontos A e B através da intersecção da reta r com a superfície de uma esfera com as coordenadas do centro em (36/49, -18/49, 12/49)? Tentei fazer por esse método, mas não consegui. Se possível quais seriam os passos a dar.
Obrigado.

14 de Julho de 2018, 10h57

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Lino,
Não entendi a dúvida. Pretendes calcular as coordenadas dos pontos `A` e `B`? Mas isso já nos é dado no enunciado! Aquilo que se pretende é descobrir uma equação vetorial da reta `r`, para isso, apenas precisamos de um ponto da reta e de um vetor diretor. Logo, como a própria resolução em vídeo indica, o primeiro passo consiste em encontrar as coordenadas desse vetor diretor que sabemos ser perpendicular ao plano.

14 de Julho de 2018, 11h16

Mensagem de Lino da Veiga

Refiro-me ao exercício em que nos é pedido os pontos que distam 7 unidades do plano.

15 de Julho de 2018, 11h03

Mensagem de Vitor Nunes

Olá novamente,
Agora percebi, como falavas dos pontos `A` e `B` não tinha entendido a dúvida. É possível, mas não é a maneira mais fácil. Em todo o caso, trata-se de fazer a interseção das duas equações, a equação vetorial da reta `r` com a equação da superfície esférica de raio 7. Começa por simplificar a equação vetorial da reta `r`. De seguida, utiliza essas coordenadas e substitui na equação da superfície esférica. Após este passo ficas com uma única variável o `k`, numa equação de segundo grau. Determina os dois valores desse `k` e vais obter as coordenadas dos pontos de interseção, que correspondem aos dois pontos que distam 7 unidades do plano `ABC` e pertencem à reta `r`. Espero ter ajudado!

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