Princípio Fundamental da Contagem. Introdução ao Cálculo Combinatório.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Como já viste, o cálculo de probabilidades exige contagens mais ou menos complexas. Os problemas já resolvidos, envolvendo acontecimentos elementares equiprováveis, são regra geral, simples e basta bom-senso e organização para determinar em cada experiencia, quantos são os casos possíveis e quantos são os casos favoráveis ao acontecimento, para depois aplicar a Lei de Laplace.
Por vezes, é necessário recorrer a auxiliares de contagem como as tabelas de dupla entrada, os diagramas em árvore ou os diagramas de Venn. Vão ser agora introduzidas novas técnicas que vão permitir resolver problemas com um maior nível de complexidade.
A parte da Matemática que trata das contagens de subconjuntos, ou de elementos ou de sequências de um dado conjunto tem o nome de Análise Combinatória. No cálculo de probabilidades não é necessário, em geral, descrever quais são os casos possíveis, mas sim saber quantos são.
Explicação da matéria
Duração: 10:26
Duração: 24:08
Duração: 15:08
Duração: 08:54
Duração: 09:15
Duração: 22:07
Exercícios resolvidos
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16 de Outubro de 2018, 23h59
Mensagem de Tiago
Boa noite professor,
No video desta aula intitulado: "contrário de um acontecimento", eu resolvi o exercício utilizando o seguinte raciocino: 1x4x4 + 4x1x4 + 4x4x1, no entanto por este processo o resultado obtido é 48. Eu sei que o resultado está errado, só não sei é qual a falha no meu raciocínio para não me dar 37...
17 de Outubro de 2018, 19h25
Mensagem de Lúcio
Onde estão os anexos dos vídeos? Obrigado.
17 de Outubro de 2018, 19h38
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Tiago,
O enunciado refere que o número tem que conter pelo menos um algarismo 2. Pelos teus cálculos depois de tirar a bola 2, ainda tens mais 4 bolas disponíveis e isso não é verdade! Depois de sair a bola com o algarismo 2, já só nos restam 3 bolas no saco. Espero que tenhas conseguido perceber.
17 de Outubro de 2018, 19h43
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Lúcio,
Infelizmente os anexos aos vídeos já não estão disponíveis para download. Esses anexos referiam-se a dicas práticas, que podem agora ser encontradas nos vídeos com as resoluções dos exercícios que disponibilizamos nesta página.
17 de Outubro de 2018, 23h00
Mensagem de João
Boa noite professor,
Eu resolvi o problema da mesma maneira que o Tiago e não percebi a sua explicação. O professor diz que "Depois de sair a bola com o algarismo 2, já só nos restam 3 bolas no saco" e isto não me parece verdade, pois as bolas depois de tiradas são repostas no saco, logo continuo a ter 4 bolas disponíveis. Percebo que há aqui um erro mas não percebo aonde. obrigado.
18 de Outubro de 2018, 15h15
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Primeiro que tudo, obrigado por me ter chamado à atenção, pelo facto da extração de bolas ser com reposição. Confesso que li o exercício na diagonal e não me apercebi desse (importante) pormenor. Vamos pensar no número `272`, repara que este número é válido, porque contém pelos menos um algarismo 2. Quando contas `1xx4xx4` ele está a ser contabilizado, mas também quando contas `4xx4xx1`. Ao utilizar essa estratégia, alguns números (como o do exemplo), estão a ser contados mais que uma vez. Espero ter sido mais claro desta vez.
26 de Outubro de 2018, 17h11
Mensagem de Anabela
Boa tarde professor,
A dica prática a que se refere em nº de lugares, com p pessoas juntas pode ser alargada? Tipo 7 lugares e 2 pessoas juntas e outras 2 juntas, sem serem juntas com as duas primeiras? Obrigada.
27 de Outubro de 2018, 11h00
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Anabela,
Sim, pode ser alargado ao número de pessoas que quiseres. É indiferente se estamos a lidar com uma mesa com 5 pessoas ou com 50 pessoas. O exemplo continua a ser válido!
21 de Janeiro de 2019, 00h07
Mensagem de Isabel
Olá professor,
Gostaria de pedir um esclarecimento relativo ao exercício numero 2 do vídeo "Exemplos práticos". A questão pede "De quantas formas pode o Rui arrumar 1 dos 7 objetos em um dos compartimentos". Ao resolver o exercício só calculei as possibilidades relativas ao numero de compartimentos excluindo as 7 possibilidades de objetos devido ao enunciado pedir as formas relativas a 1 objeto e não aos 7 possíveis objetos. Obrigada.
21 de Janeiro de 2019, 08h50
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Isabel,
Eu reconheço que o enunciado poderia ser mais explicito nessa questão. Mas repara no seguinte: não queremos arrumar os 7 objetos, mas sim apenas 1, só que como os objetos são todos diferentes temos que escolher qual é que vamos arrumar. Como existem 7 possibilidades de escolha do objeto, temos a necessidade de multiplicar por 7 o resultado final. Se realmente pretendêssemos arrumar todos os objetos, então o número total de possibilidades seria bem maior. Espero que tenhas ficado esclarecida.
26 de Janeiro de 2020, 14h50
Mensagem de Fábio
Boa tarde,
No exercício 7 está escrito na alínea c) que apenas podem existir dois 3 consecutivos, mas isso não impede que existam mais 3 na matrícula desde que não sejam consecutivos. Certo?
26 de Janeiro de 2020, 16h44
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Fábio,
A tua interpretação não está correta. Por vezes, nestes exercícios de probabilidade e combinatória, os alunos erram porque não fazem uma leitura atenta do enunciado. Aconselho sempre a ler duas ou três vezes antes de começar a resolver, para termos a certeza que percebemos bem aquilo que nos é pedido. Basta uma pequena palavra ou uma vírgula para alterar o sentido de uma frase, e neste tipo de exercícios uma interpretação errada é fatal. Repara na frase: "... de modo que contenha somente dois 3, em posições consecutivas ...". Aquela vírgula que se encontra após o número 3 faz toda a diferença! Se lermos a frase de forma pausada, dá para entender que a matrícula só pode conter duas vezes o algarismo 3, e que estes dois algarismos iguais devem aparecer em posições consecutivas. Se o enunciado não tivesse aquela vírgula, então sim, deveríamos interpretar a pergunta da forma como sugeres.
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