Aulas > 12º ano > Cálculo Combinatório > Aula nº 5

Arranjos e Combinações. Cálculo Combinatório.

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Vê o(s) vídeo(s) que contém a explicação da matéria e depois tenta resolver exercícios sobre este tema. Bom estudo!

Aula Nº: 5 / Total: 7
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Introdução

Dado um conjunto com `n` elementos, o número total de sequências de `p` elementos distintos, escolhidos de entre os `n` elementos, com `p <= n`, representa-se por ` text()^nA_p` e lê-se número de arranjos simples, ou sem repetição, de `n` elementos, tomados `p` a `p`.

Dado um conjunto com `n` elementos, o número total de sequências de `p` elementos, repetidos ou não, escolhidos de entre os `n` elementos, representa-se por ` text()^nA’_p` e lê-se número de arranjos completos, ou com repetição, de `n` elementos, tomados `p` a `p`.

Dado um conjunto com `n` elementos, chama-se combinação dos elementos desse conjunto, a qualquer dos seus subconjuntos. O número total de combinações com `p` elementos escolhidos de entre `n` representa-se por ` text()^nC_p`.




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Foram feitos 25 comentários/dúvidas.
19 de Dezembro de 2014, 19h13

Mensagem de Miguel

Tive muitas dúvidas nesta matéria de probabilidades porque não sei qual utilizar, se é arranjo simples, completo ou combinações. Mesmo depois de ver o vídeo com as explicações da matéria parece que nunca acerto.

21 de Dezembro de 2014, 14h55

Mensagem de Rui

É assim Miguel, só tens que analisar o contexto do problema. Se for para contar o número de conjuntos que é possivel formar em que a ordem não interessa, utilizas a combinação. Caso a ordem interesse, se puder haver repetição dos elementos do conjunto é um arranjo completo, se não puder haver repetição é um arranjo simples.
De inicio esta matéria das probabilidades também me fazia muita confusão, mas depois de resolver vários exercícios comecei a encaixar melhor.

06 de Março de 2015, 16h33

Mensagem de José Reis

a) Como achar as chaves possíveis do euro-milhões?
b) Como conseguir que o computador dite chaves do euro-milhões por exemplo de segundo a segundo?
grato antecipadamente
Reis

07 de Março de 2015, 01h31

Mensagem de Vitor Nunes

Olá José,
Normalmente só aceito que o fórum seja utilizado para colocar dúvidas sobre os exercícios propostos. Mas como a questão colocada é interessante vou abrir uma exceção.
Em relação à alínea a) que consiste em saber quantas chaves existem do euromilhões, não é difícil de calcular. Para o prémio máximo temos que acertar em 5 números (de um total de 50) e em 2 estrelas (de um total de 11), assim sendo: `text()^50C_5 xx text()^11C_2 = 116.531.800`.
Não percebi a alinea b).

19 de Março de 2015, 16h02

Mensagem de Reis

Grato pela prontidão da vossa resposta a alínea a;
Acerca da alínea b o que eu gostava de saber era se o computador tem alguma formula - por ex: no exel - de ditar chaves(conjuntos) de 5 números em 50 e conjuntos de 2 em 11?
Mais uma vez grato antecipadamente
Reis

20 de Março de 2015, 08h06

Mensagem de Vitor Nunes

Olá José,
Conheço particularmente bem o Excel, no entanto, não conheço nenhuma maneira de gerar números aleatórios de acordo com os requisitos que pedes.
Isso pode ser feito facilmente, no computador, usando uma linguagem de Programação como Delphi, C++ ou PHP, mas para isso terias que perceber de programação. Lamento não poder ajudar mais.

31 de Março de 2015, 16h27

Mensagem de José Reis

Agradeço e gosto muito do vosso site;
Parabéns, Pascoa Feliz e um enorme abraço

06 de Abril de 2015, 20h25

Mensagem de MadalenaT

Boa tarde, gostaria de saber se o exercício nº 14 pode ser resolvido com arranjos?
Ex.: 5 nPr 2 + 5 nPr 4 = 140

07 de Abril de 2015, 10h17

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Madalena,
A resposta é sim. O exercício 14 pode ser resolvido com arranjos simples, exatamente da forma como indicaste, como no fundo, a ordem das cores interessa, o teu método acaba por ser bem mais simples que o meu. Nesta matéria do Cálculo Combinatório existem sempre várias formas de chegar ao resultado correto. Frequentemente os alunos optam por uma forma de resolução diferente daquela que é sugerida pelo professor, e desde que o raciocínio esteja correto, todos os métodos são válidos.

07 de Abril de 2015, 18h50

Mensagem de MadalenaT

Prof. Vitor Nunes muito obrigada pela explicação.
Cumprimentos.

10 de Novembro de 2015, 17h02

Mensagem de Ana

Tenho dúvidas no exercício 5 pois não percebi porque é que se usa a combinação e não o arranjo completo, uma vez que existe a repetição do numero 5

11 de Novembro de 2015, 10h29

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ana,
É usada a Combinação e não os arranjos completos porque a ordem não interessa. Repara que estamos a repetir três vezes o algarismo 5. Como é sempre o mesmo algarismo que se repete, não importa a ordem em que essa repetição é feita. Se por exemplo quiseres fazer uma pizza e dos cinco ingredientes disponíveis for necessário escolher três, a ordem dessa escolha não interessa, uma vez que a pizza é sempre a mesma! Nos casos em que a ordem não interessa usa-se sempre a Combinação.

12 de Novembro de 2015, 17h59

Mensagem de José Martins

Boa tarde,
Tenho uma dúvida que gostaria que me ajudassem, gostaria de saber quantas combinações existem em 4 jogos de voleibol (não há empates):
- Jogo A : Vitória ou Derrota
- Jogo B : Vitória ou Derrota
- Jogo C : Vitória ou Derrota
- Jogo D : Vitória ou Derrota
Se existisse uma espécie de totobola assim, quantas são as combinações possíveis para acertar no resultado dos 4 jogos?
Cumprimentos

13 de Novembro de 2015, 09h09

Mensagem de Vitor Nunes

Olá José,
Por norma, apenas respondo a dúvidas que estejam relacionadas com os exercícios propostos, mas vou abrir uma exceção. Cada jogo só tem dois resultados possíveis, como temos quatro jogos a serem disputados, o total de combinações possíveis de resultados é de `2^4=16`. Para garantir que acertavas na previsão de todos os resultados dos quatro jogos teriam que ser preenchidos 16 boletins de Totobola diferentes. Espero ter ajudado, boa sorte!

07 de Dezembro de 2015, 14h54

Mensagem de Ana

Boa Tarde,
Vou ter teste de matemática e estou preocupada porque não percebo quando utilizar arranjos, permutações ou combinações. Sei em que cada situação se deve utilizar qual no entanto quando estou perante um exercício não o consigo perceber qual utilizar. Existem algumas palavras chave que me possam ajudar?

09 de Dezembro de 2015, 21h28

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ana,
Essa é uma dúvida muito comum entre os alunos e só se resolve com muito treino. Não existe nenhuma palavra chave a que tenhas que estar atenta, tens apenas que ler o enunciado com muita atenção e tentar perceber pequenos pormenores: Se a ordem não for importante então trata-se de uma combinação. Se a ordem for importante e não houver repetição então estamos na presença de um arranjo simples. Se nenhum elemento ficar de fora é uma permutação. Boa sorte para o teste!

10 de Outubro de 2016, 19h21

Mensagem de Luis Gonçalves

Olá. Aqui há dias deparei-me com o seguinte exercício e ainda não o consegui resolver!!!!
"Quantos números naturais de três algarismos diferentes se podem escrever não utilizando o algarismo 2 nem o algarismo 5." Aguardo resposta. Cumprimentos!

12 de Outubro de 2016, 15h05

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Luís,
Já mencionei em mensagens anteriores, que tenho por hábito responder apenas a questões relacionadas com os exercícios presentes na página. Mais uma vez, vou abrir uma exceção. Este exercício podia ser resolvido com a utilização das Combinações, mas vou utilizar a Regra do Produto (também conhecido por Principio da Multiplicação). Do enunciado, retiramos logo a informação que temos 8 opções disponíveis. No entanto, nenhum número pode começar por zero, assim sendo, no caso do primeiro algarismo temos apenas 7 opções de escolha. No segundo algarismo temos novamente 7 opções de escolha, porque voltamos a ter o zero disponível mas não podemos usar o mesmo algarismo já utilizado anteriormente. Para o terceiro algarismo temos 6 escolhas possíveis. O resultado final é então: `7xx7xx6 = 294`.

18 de Janeiro de 2017, 22h51

Mensagem de João Gregório

Boas,
No exercício nº8 porque fez a conta separando os brancos dos pretos: 16C9 X 7C3, e não somou as peças todas dando o resultado 16C12? Obrigado pela atenção.

19 de Janeiro de 2017, 09h17

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Não se pode somar tudo, porque as peças não são todas iguais. Umas são pretas e outras são brancas. Como são peças diferentes, colocar uma peça de uma cor ou de outra, faz com que o tabuleiro tenha um aspeto diferente. Assim sendo, para contar de quantas formas podemos colocar as peças, temos que contar separadamente.

05 de Julho de 2017, 15h05

Mensagem de Inês M

Boa tarde professor,
Desculpe o incomodo, mas gostaria de perguntar porque é que, no exercício 5, a resposta não é 5C3 x 4C2. Não consigo perceber o porquê de a última expressão ser representada por arranjos (com repetição) e não combinações... Porque é que interessa a ordem? Obrigada.

06 de Julho de 2017, 14h40

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Inês,
Não é incomodo nenhum, tenho todo o prazer em prestar esclarecimentos. Vamos supor o seguinte: o algarismo 5, fica na primeira, terceira e quinta posição, assim obtemos 5_5_5. Aqui claramente a ordem não interessa, porque se trocarmos o 5 de lugar, o número é o mesmo. Vou agora escolher outros dois algarismos, por exemplo o 6 e o 7. Repara que pode ficar 56575 ou 57565, isto se trocarmos o 6 e o 7 de lugar. Logo, neste caso a ordem interessa! Assim sendo, trata-se de um arranjo e não de uma combinação. Neste caso é com repetição, porque o enunciado não refere, que os restantes algarismos não possam ser repetidos. Espero que tenhas percebido.

08 de Julho de 2017, 11h41

Mensagem de Inês M

Já entendi, muito obrigada! Tem sido o meu "melhor amigo" enquanto estudo para a 2ª fase! Cumprimentos e continuação de um ótimo trabalho.

09 de Julho de 2017, 05h34

Mensagem de Artur

Boa noite!
No exercício 10, como estamos a falar de 6 números 2, e como cada número altera o resultado consoante a sua posição, não estaremos a falar de um arranjo ao invés de uma combinação? Obrigado!

09 de Julho de 2017, 18h06

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Artur,
Em relação à escolha do local em que fica o algarismo 2, trata-se de uma combinação. Repara que escolhemos 6 posições diferentes para colocar o número 2. Depois dessa escolha estar feita, não importa as trocas que possas fazer entre esses 6 algarismos, uma vez que é sempre o mesmo. Estamos a falar de trocar os 6 algarismos 2 entre si, não estamos a falar em mudá-los de posição. Espero que me tenha feito entender.

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