Aulas > 11º ano > Funções Reais de Variável Real > Aula nº 9

Taxa de variação média e instantânea.

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Aula Nº: 9 / Total: 11
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Introdução

A variação de uma função `f` num intervalo `[a,b]`, do seu domínio, é dada por: `f(b) – f(a)`.
A Taxa Média de Variação de uma função `f` no intervalo `[a,b]` é dada por `TMV=( f(b) – f(a))/(b-a)`.
A Taxa Média de Variação de uma função `f` no intervalo `[a,b]` representa geometricamente o declive de reta definida pelos pontos `AB`. Em física, a taxa média de variação está associada à velocidade média, num certo intervalo de tempo.

A Taxa de Variação de uma função `f` real de variável real, num ponto, caso exista é calculada através da seguinte fórmula: `f'(x_0)=lim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)` ou `f'(x_0)=lim_(h->0)(f(x_0+h)-f(x_0))/h`.
A Taxa de Variação de uma função num ponto, ou seja, `f’(x_0)`, representa geometricamente o declive da reta tangente ao gráfico de `f` no ponto de abcissa `x_0`. Em física, esta taxa de variação está associada à rapidez instantânea, ou em linguagem comum, velocidade instantânea.




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Foram feitos 17 comentários/dúvidas.
08 de Abril de 2015, 15h45

Mensagem de Fernanda

Ainda não consegui perceber para que é que serve esta taxa e qual a diferença em relação à derivada. É a mesma coisa, ou taxa de variação média é uma coisa e derivada é outra?

09 de Abril de 2015, 10h55

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Fernanda,
A Taxa de Variação Média num intervalo, não é mesma coisa que derivada. Mas se estiveres a falar da T.V.M. num ponto, então sim, é a mesma coisa que derivada. Esta taxa serve para "medir" a variação da função num ponto. Por outras palavras, imagina um corredor a cortar a meta, qual a velocidade a que ele ia, no preciso instante em que cortou a meta? A resposta a esta pergunta é obtida pelo cálculo da derivada no instante em que o corrredor cortou a meta.

10 de Abril de 2015, 10h59

Mensagem de Filipa

Bom dia,
Gostaria de saber se irão colocar brevemente alguma aula sobre interpretação geométrica da derivada de uma função num ponto e da função derivada.
Obrigada

10 de Abril de 2015, 14h22

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Filipa,
Infelizmente, para já estamos sem tempo para acrescentar novas aulas. Só daqui a duas semanas é que prevejo que voltemos a acrescentar novas aulas para o 11º ano.

20 de Abril de 2015, 18h36

Mensagem de Leandro

Boas,
Pela última mensagem da Filipa, consegui perceber que ainda vai demorar um pouco até o vídeo com a próxima matéria vai sair. Gostaria de saber se tem alguma data prevista para tal, já que tenho de fazer umas revisões para um teste que se avizinha.
Desde já saúdo o vosso esforço para manter este site, é uma verdadeira ajuda para mim e já o recomendei! Muito obrigado

21 de Abril de 2015, 00h28

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Leandro,
Ainda vai demorar alguns dias até termos tempo para acrescentar novas aulas. Provavelmente, quando isso acontecer, vamos saltar diretamente para a próxima matéria, que está relacionada com o estudo da Progressão Aritmética e Progressão Geométrica.
Se quiseres, entretanto, podes consultar os seguintes vídeos. Pode ser que sirvam para esclarecer algumas dúvidas que ainda tenhas sobre as derivadas. Boa sorte para o teu teste!

26 de Maio de 2016, 14h52

Mensagem de Ecaterina

Bom dia Professor Vitor.
Tenho uma dúvida. Não percebo quando o declive é positivo e quando é negativo. Podia explicar-me por favor.

27 de Maio de 2016, 09h07

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Ecaterina,
O declive de uma reta está relacionado com a sua inclinação. Na equação da reta `y=mx+b`, a constante `m` representa o declive. Este valor pode ser positivo ou negativo. Nesta matéria em que se estuda a Taxa Média de Variação, o valor da TMV é igual ao valor do declive da reta secante nos pontos do intervalo. No estudo da função derivada, o declive da reta tangente é igual ao valor da derivada nesse ponto. Esta constatação é muito importante, porque se o declive for positivo significa que a função é crescente, se o declive for negativo significa que a função é decrescente.

18 de Agosto de 2016, 05h37

Mensagem de vladimir renz

Não estou conseguindo uma definição correta destes termos. Qual é o significado das seguintes relações:
- Taxa de Variação Média e Reta Secante;
- Taxa de Variação Instantânea e Reta Tangente.

18 de Agosto de 2016, 09h47

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Vladimir,
A Taxa de Variação Média (TVM) de um função num intervalo é igual, ou seja, tem o mesmo valor que o declive da reta secante nesse intervalo. A Taxa de Variação Instantânea (derivada) de um função num ponto é igual ao declive da reta secante nesse ponto. Todos estes conceitos estão relacionados e percebem-se mais facilmente quando se analisa o gráfico de uma função. Espero ter ajudado!

15 de Dezembro de 2016, 00h29

Mensagem de João Cunha

Acha que me pode explicar as seguintes duvidas:
- qual a relação entre taxa de variação e derivada de uma função.
- como determinar a equação da reta tangente de uma função num ponto de tangencia.
Obrigado pelo esforço que dedicam ao site

15 de Dezembro de 2016, 08h46

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Em relação à primeira dúvida, normalmente a Taxa Média de Variação (TMV) de uma função é calculada num intervalo, mas se ao invés de um intervalo for calculada num ponto, então esse valor é igual ao valor da derivada da função nesse ponto. Na segunda dúvida que apresenta, a reta tangente tem como equação `y=mx+b`, sendo que `m` é o declive e corresponde ao valor da derivada no ponto de tangência. Quanto ao `b` basta substituir o `x` e o `y` pelos valores do ponto de tangência.

23 de Maio de 2017, 15h47

Mensagem de Pedro Duarte

Boa tarde
-Poderia explicar a relação entre valores e sinais da derivada e comportamento do gráfico da função

24 de Maio de 2017, 08h30

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Pedro,
Tendo em conta que o valor da derivada num ponto é igual ao declive da reta tangente à função nesse ponto, então conseguimos concluir o seguinte: quando a derivada é positiva, a função é crescente; se a derivada for negativa, acontece o oposto, a função é decrescente; por último, se a derivada for zero então nesse local estamos na presença de um extremo relativo da função, que pode ser um máximo ou um mínimo relativo.

11 de Junho de 2017, 23h37

Mensagem de christophe

Boas, tenho um trabalho para fazer sobre taxa de variação, mas ainda não consegui descobrir quem foi o matemático que a utilizou pela primeira vez e sempre que procuro taxa de variação na internet, aparece sempre é taxa de variação media, são a mesma coisa ou tem diferenças?
será que me podiam ajudar se faz favor?

12 de Junho de 2017, 08h16

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Christophe,
Sim, Taxa de Variação e Taxa de Variação Média são a mesma coisa. Quanto ao matemático que a usou pela primeira vez, é mais difícil de responder. Isto porque, muitas vezes as descobertas na matemática vão sendo feitas ao longo de décadas e aprimoradas por diversos matemáticos. Os trabalhos sobre Taxa de Variação estão associados ao aparecimento do cálculo diferencial, cujo desenvolvimento foi feito de forma independente por Gottfried Leibniz e Isaac Newton.

12 de Junho de 2017, 08h46

Mensagem de Christophe

Muito obrigado, estou mais esclarecido.

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