Aulas > 12º ano > Aula nº 26

Primeira derivada e monotonia.

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Funções Reais de Variável Real

Lição nº: 7 / Total: 12

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Concluir o 12º ano 52%

Introdução

introdução matemática

Já sabes que a derivada de uma função real de variável real num ponto é o declive da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto. Se a derivada é positiva em todos os pontos de um intervalo, então a função é monótona crescente nesse intervalo, isto é, os objetos e as imagens variam no mesmo sentido.
Analogamente, se a derivada é negativa em todos os pontos de um intervalo, então a função é monótona decrescente nesse intervalo, isto é, os objetos e as imagens variam em sentido contrário.



Exercícios resolvidos

Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
Exercício de matemática do 12º ano
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Foram feitos 12 comentários/dúvidas.
23 de Abril de 2015, 22h03

Mensagem de Tiago Ferreira

Boa noite! No vídeo da resolução do exercício 10, ao min. 17:23 (se não me engano) igualam a derivada a 0,25 apesar de dizerem 0,23. Neste caso não muda o resultado do exercício mas era só para avisar :)

24 de Abril de 2015, 19h03

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Tiago,
Tens razão, existe um pequeno lapso na parte final do vídeo, quando se iguala a função derivada a 0,23. Felizmente a resolução nessa parte da questão é feita com recurso à máquina de calcular e esse erro não influencia o resultado final. Em todo o caso, obrigado por reportares. Bons estudos!

18 de Março de 2016, 20h41

Mensagem de Joao Fonseca

Boa noite,
No exercício 6 escreve que o esboço refere-se ao gráfico f(x) mas é o gráfico g(x) já com os devidos deslocamentos

21 de Março de 2016, 09h09

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
A informação que eu dou no vídeo está correta! Rapara que o gráfico da função `f(x)` corresponde ao gráfico da função `g(x)` após este sofrer um "deslocamento na horizontal" de três unidades. A este "deslocamento" dá-se o nome de translação que neste exercício é feita no sentido de um vetor com as coordenadas `(3,0)`, que vulgarmente designamos com sendo uma deslocação para a direita de três unidades. Espero que tenhas ficado esclarecido.

11 de Abril de 2016, 17h08

Mensagem de Catarina

Olá!
Não percebo como derivar no exercício 7, na regra de derivação do quociente?

12 de Abril de 2016, 13h06

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Catarina,
Quando estamos a calcular a derivada de um quociente de funções, utilizamos a seguinte regra: `(u/v)'=(u'v - uv')/v^2`. No entanto, no caso do exercício 7, não estamos a derivar duas funções, mas sim a derivar o quociente de uma constante por uma função. Poderíamos aplicar exatamente a mesma regra, mas isso seria mais trabalhoso, porque para estes casos, existe uma regra mais simples que é a seguinte: `(k/x)'=-k/x^2`. No vídeo com a resolução foi utilizada esta última regra.

20 de Abril de 2016, 22h20

Mensagem de Catarina

Ok, obrigada pelo esclarecimento.
Já agora, no exercicio 9.3, nas assintotas verticais, se um limite dá mais infinito porque é que vamos calcular o outro limite se sabemos que a assintota existe. É obrigatório apresentar os dois limites?

21 de Abril de 2016, 09h04

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Catarina,
Quando estudamos a existência de assintotas de uma função, o objetivo é saber como é que a função se comporta quando se aproxima desses pontos, sejam eles pontos de descontinuidade, no caso das assintotas verticais, ou do mais ou menos infinito no caso das assintotas não verticais (obliquas e horizontais). Se o objetivo é apenas concluir a existência ou não de assintotas, então tens razão, não é necessário estudar o comportamento à esquerda e à direita dos pontos.

30 de Abril de 2021, 10h25

Mensagem de Juliana

Bom dia,
No vídeo, aproximadamente aos 17 minutos, no estudo para determinar o intervalo em que a função é crescente e decrescente, não percebi porque razão, o intervalo de x1 e x2 são fechados, tanto para quando a função é crescente como decrescente? Se x1 é fechado quando a função é crescente, como pode ter intervalo fechado quando a função é decrescente (mesmo raciocínio vale para x2)? Ser fechado não implica dizer que o x1 pertence ao intervalo? Estou muito confusa.
Obrigada desde já.

30 de Abril de 2021, 17h02

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Juliana,
Por norma, quando indicamos o intervalo de monotonia de uma função, indicamos com intervalos fechados (a não ser que se trate de infinito, ou de um ponto que não pertence ao domínio da função). Isto porque a função cresce até chegar àquele ponto. Da mesma forma, também podemos interpretar que a função decresce até chegar àquele ponto, logo o intervalo é fechado tanto no intervalo de crescimento como no de decrescimento, mesmo que se trate do mesmo ponto.

05 de Maio de 2021, 18h22

Mensagem de Juliana

Boa tarde, Professor.
No exercício 4, resolvi de outra forma e gostaria de saber se está correta. Como os zeros da função são conhecidos, consegui encontrá-la, através da multiplicação dos fatores (x+2) (x-2) (x-5), ou seja, a função é x^3 - 5x^2 - 4x +20. Depois, encontrei a função derivada, que é 3x^2 - 10 x - 4. Por último, substitui os valores de 0, -3 e 6 na função da derivada.
Obrigada.

05 de Maio de 2021, 19h21

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Juliana,
Ena, esta certo. Mas tens que concordar que é um processo muito mais trabalhoso. O mais fácil é mesmo interpretar o gráfico da função dada e, a partir da informação que temos tentar descobrir qual é o gráfico da primeira derivada. Em todo o caso, parabéns pelo raciocínio, está corretíssimo.

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