Círculo trigonométrico. Equações Trigonométricas.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
As equações trigonométricas surgem, com frequência, na resolução de problemas de geometria, astronomia, física, cartografia, navegação… não se excluindo a possibilidade de resolver equações trigonométricas fora do contexto de qualquer situação concreta. Elas podem ser resolvidas quer no universo das amplitudes de ângulos (expressas em graus ou radianos), ou num intervalo mais limitado.
Explicação da matéria
Duração: 18:33
Duração: 07:12
Duração: 08:37
Exercícios resolvidos
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27 de Junho de 2015, 19h08
Mensagem de joao silva
Ainda existe outra solução para o valor de X tanto no seno como coseno de X.
no seno pode tbm ser = -(pi + alfa) + 2kpi
no coseno pode tbm ser = 2pi -alfa + 2kpi
28 de Junho de 2015, 16h53
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Quando no vídeo que explica a equação do seno se refere que as suas soluções são `x = alpha + 2k pi vv` ` x = pi - alpha + 2 k pi, k in ZZ` já estão incluídas neste formato todas as soluções possíveis. Apesar da solução que indicas ser uma solução válida, ela já faz parte do formato mais generalista. De igual forma, para a solução que apresentas para o coseno, apesar de válida, ela é absolutamente idêntica a `x = - alpha + 2 k pi`, logo não é considerada. Espero ter-me feito entender.
04 de Novembro de 2015, 16h01
Mensagem de Cristiana
Olá.
Quando aparece uma equação do género 2cos(pi/2)+1=0, como a resolvemos? Sendo que o cos de pi/2 é zero?
05 de Novembro de 2015, 09h37
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Cristiana,
Aquilo que referes não dá para "resolver" porque `2 cos(pi/2) + 1 = 0` nem sequer é uma equação. Para ser uma equação teria que ter uma incógnita, para podermos determinar o seu valor. Aquilo que apresentas é uma proposição que pode ter dois valores: Verdadeiro ou Falso. simplificando a proposição ficaria `cos(pi/2)=-1/2` como o `cos(pi/2)` é zero, a proposição apresentada é Falsa. Espero ter ajudado!
08 de Novembro de 2015, 19h04
Mensagem de Patela
EPAH, sou eu o único, que após ter visto quase todas as "aulas de matemática" daqui, parei de ter vontade de enfiar a calculadora na minha stora de matemática????
Obrigado pela ajuda pessoal! Foi aqui que saquei a minha ultima nota (18).
09 de Novembro de 2015, 20h05
Mensagem de Vitor Nunes
Ainda bem que conseguimos ajudar! Parabéns pela nota! Continua o excelente trabalho.
19 de Novembro de 2015, 13h21
Mensagem de Diana
Ola,
Como posso resolver esta equação 2senxcosx +cosx ?
20 de Novembro de 2015, 09h30
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Diana,
Gostaria de poder ajudar, mas a dúvida que colocas está mal formulada! Aquilo que apresentas não é uma equação, é uma expressão. Para ser uma equação é necessário além da incógnita, cujo valor queremos determinar, existir um primeiro membro e um segundo membro separados por um sinal de igual. Na "equação" que referes não existe nenhum sinal de igual. Assim sendo, podíamos tentar simplificar a expressão, mas é impossível de determinar o valor de `x`. Espero ter ajudado.
06 de Novembro de 2016, 17h09
Mensagem de Frederico
Boa tarde,
No exercício 5.1, cheguei ao mesmo resultado que vocês, excepto no 2kpi. Visto que o exercício pede para resolver dentro do intervalo pi/2, 3pi/2, não me parece que esteja correto adicionar o 2kpi à solução, porque a única solução que se encontra dentro do intervalo é 2pi/3 (se utilizarmos o exemplo de k=2, o ângulo seria 2pi/3+2*2*pi=14pi/3, que não se encontra no intervalo indicado). Se tiver algum erro no meu raciocínio, por favor expliquem, porque não estou a entender. Muito obg!
06 de Novembro de 2016, 17h26
Mensagem de Frederico
Não tinha visto o vídeo até ao fim, esqueçam o último comentário.
06 de Novembro de 2016, 20h29
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Frederico, fico feliz por saber que o vídeo com a resolução ajudou a esclarecer a tua dúvida!
09 de Novembro de 2016, 23h48
Mensagem de Fernando Dias Santos
Boa noite Professor. Poderia dar-me uma pista sobre o modo como como posso abordar a resolução do seguinte exercício, s.f.f.?
Seno ao quadrado de x mais cosseno de x igual a um, no intervalo [ - 3pi/2 , 5pi/2 ].
Obrigado e parabéns pelo trabalho produzido que muito me tem ajudado.
10 de Novembro de 2016, 08h51
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Fernando,
Apesar de ter por hábito responder apenas a dúvidas relacionadas com os exercícios propostos, vou-te dar uma pequena ajuda. Repara que a Fórmula Fundamental da Trigonometria diz-nos que `sin^2 alpha + cos^2 alpha=1` e assim sendo podemos afirmar que `sin^2 alpha=1 - cos^2 alpha`. No teu exercício temos o seguinte enunciado: `sin^2 alpha + cos alpha = 1`, podemos substituir o valor de `sin^2 alpha` pelo valor anteriormente encontrado, fica então `1 - cos^2 alpha + cos alpha = 1 hArr -cos^2 alpha + cos alpha = 0 hArr cos alpha (-cos alpha + 1) = 0`. A partir daqui penso que é fácil, aplica-se a Lei do Anulamento do Produto e resolve-se cada equação no intervalo pedido.
10 de Novembro de 2016, 09h24
Mensagem de Fernando
Professor, muito obrigado pelo seu cuidado. Percebi agora o detalhe que me estava a escapar.
14 de Janeiro de 2017, 17h38
Mensagem de Diogo Marques
Olá. Muito boa aula, como de costume :)
Uma pergunta relacionada com o exercício 2.2:
Se eu resolver com uma aplicação (Wolfram | Alpha), as soluções dadas são: x = -21π/8 + 3kπ v x = -9π/4 + 3kπ v x = -9π/8 + 3kπ , k ϵ Z
Apenas estou curioso porque isto permitiria descobrir mais soluções a cada k assumido (três soluções para k=0, 3 soluções para k=1, etc), sendo potencialmente mais prático. Alguma ideia de como resolver a equação de forma a dar estas soluções? Obrigado! :)
14 de Janeiro de 2017, 22h39
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Diogo,
Apesar de já ter ouvido falar desse programa, nunca o utilizei, nem faço ideia de como é que funciona. Admitindo que introduziste corretamente os dados do problema, podes não chegar à mesma expressão que constitui a Expressão Geral das Soluções (isto porque, existem várias, umas mais simplificadas que outras). Mas ao dar valores ao parâmetro `k`, de certeza que vamos chegar às mesmas soluções. Quanto ao número de soluções, não se pode dizer que uma expressão tenha mais soluções que outra. Isto porque, o número de soluções deste tipo de equações trigonométricas é infinito. Logo, apesar de perceber a tua dúvida, tenta entender que uma expressão não pode apresentar mais soluções que outra! Se ambas as expressões estiverem corretas, então apresentam exatamente as mesmas soluções.
25 de Abril de 2017, 21h56
Mensagem de Samuel Ferreira
Boa tarde,
Eu gostaria de saber porque é que no exercício 5.2, na resolução o professor, quando vai à procura de simplificar este passo: cos(x) = -cos(π/6), porque apenas considera o ângulo ( π - π/6 ) e descarta o ângulo (π + π/6), uma vez que também é igual a -cos(x). O passo seguinte não deveria de ser cos(x) = cos(π - π/6) V cos(x) = cos(π + π/6)?
Desde já agradeço toda a vossa disponibilidade exercida na realização destas aulas que são uma ferramenta espectacular.
26 de Abril de 2017, 08h41
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Samuel,
Se vires com atenção a parte final do vídeo, verás que o ângulo `pi + pi/6` não é descartado, pelo contrário, ele faz parte da solução. Como se trata de uma inequação, a solução final é um intervalo, neste caso a solução final do exercício corresponde ao intervalo `[-(5 pi)/6, 0]`. Ora o primeiro ângulo deste intervalo `-(5 pi)/6` é igual a `pi + pi/6`. De facto, `-(5 pi)/6 = (7 pi)/6`, só que no primeiro caso andamos no sentido negativo e no segundo caso andamos no sentido positivo, mas o ângulo é o mesmo! Espero ter ajudado.
19 de Novembro de 2021, 15h01
Mensagem de Maria
Boa tarde.
No exercício resolvido 4.1 porque é que não posso, no primeiro passo dividir tudo por sin(x)^2 ?
19 de Novembro de 2021, 16h34
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Maria,
Eu percebo que olhando para a equação, esse seja o primeiro passo que nos ocorre, porque dessa forma a equação ficaria logo bastante simplificada. Mas isso não pode ser feito, porque `sin^2(x)` pode ter o valor `0` (zero). Em matemática como sabemos, nunca se pode dividir por zero e por esse motivo a sugestão que apresentou não é válida!
09 de Janeiro de 2023, 17h13
Mensagem de Maria
Boa tarde! Na 9.3, segundo a equação trigonométrica do cos, não deveria ser : cos x = cos y x = y + k.2pi V x = - y + k.2pi , keZ ?
Não percebi o porquê de apenas se ter utilizado o positivo…
09 de Janeiro de 2023, 18h34
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Maria,
Parto do principio que te estás a referir ao exercício número 9 e à pergunta 1.3. Se for esse o caso é pedido o período positivo mínimo da função. Então não nos interessa estar a analisar o ângulo negativo, só nos interessa o positivo.
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