Aulas > 11º ano > Trigonometria e Funções Trigonométricas > Aula nº 9

Círculo trigonométrico. Equações Trigonométricas.

video

Vê o(s) vídeo(s) que contém a explicação da matéria e depois tenta resolver exercícios sobre este tema. Bom estudo!

Aula Nº: 9 / Total: 10
ant. voltar seg.

Introdução

As equações trigonométricas surgem, com frequência, na resolução de problemas de geometria, astronomia, física, cartografia, navegação… não se excluindo a possibilidade de resolver equações trigonométricas fora do contexto de qualquer situação concreta. Elas podem ser resolvidas quer no universo das amplitudes de ângulos (expressas em graus ou radianos), ou num intervalo mais limitado.




Utiliza este espaço para comentários ou dúvidas

Neste local poderás colocar os teus comentários e as tuas dúvidas. Todas as mensagens que não estiverem diretamente relacionadas com este tema, ou que eventualmente contenham linguagem considerada imprópria serão removidas.

Foram feitos 18 comentários/dúvidas.
27 de Junho de 2015, 19h08

Mensagem de joao silva

Ainda existe outra solução para o valor de X tanto no seno como coseno de X.
no seno pode tbm ser = -(pi + alfa) + 2kpi
no coseno pode tbm ser = 2pi -alfa + 2kpi

28 de Junho de 2015, 16h53

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Quando no vídeo que explica a equação do seno se refere que as suas soluções são `x = alpha + 2k pi vv` ` x = pi - alpha + 2 k pi, k in ZZ` já estão incluídas neste formato todas as soluções possíveis. Apesar da solução que indicas ser uma solução válida, ela já faz parte do formato mais generalista. De igual forma, para a solução que apresentas para o coseno, apesar de válida, ela é absolutamente idêntica a `x = - alpha + 2 k pi`, logo não é considerada. Espero ter-me feito entender.

04 de Novembro de 2015, 16h01

Mensagem de Cristiana

Olá.
Quando aparece uma equação do género 2cos(pi/2)+1=0, como a resolvemos? Sendo que o cos de pi/2 é zero?

05 de Novembro de 2015, 09h37

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Cristiana,
Aquilo que referes não dá para "resolver" porque `2 cos(pi/2) + 1 = 0` nem sequer é uma equação. Para ser uma equação teria que ter uma incógnita, para podermos determinar o seu valor. Aquilo que apresentas é uma proposição que pode ter dois valores: Verdadeiro ou Falso. simplificando a proposição ficaria `cos(pi/2)=-1/2` como o `cos(pi/2)` é zero, a proposição apresentada é Falsa. Espero ter ajudado!

08 de Novembro de 2015, 19h04

Mensagem de Patela

EPAH, sou eu o único, que após ter visto quase todos as "aulas de matemática" daqui, parei de ter vontade de enfiar a calculadora na minha stora de matemática????
Obrigado pela ajuda pessoal! Foi aqui que saquei a minha ultima nota (18).

09 de Novembro de 2015, 20h05

Mensagem de Vitor Nunes

Ainda bem que conseguimos ajudar! Parabéns pela nota! Continua o excelente trabalho.

19 de Novembro de 2015, 13h21

Mensagem de Diana

Ola,
Como posso resolver esta equação 2senxcosx +cosx ?

20 de Novembro de 2015, 09h30

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Diana,
Gostaria de poder ajudar, mas a dúvida que colocas está mal formulada! Aquilo que apresentas não é uma equação, é uma expressão. Para ser uma equação é necessário além da incógnita, cujo valor queremos determinar, existir um primeiro membro e um segundo membro separados por um sinal de igual. Na "equação" que referes não existe nenhum sinal de igual. Assim sendo, podíamos tentar simplificar a expressão, mas é impossível de determinar o valor de `x`. Espero ter ajudado.

06 de Novembro de 2016, 17h09

Mensagem de Frederico

Boa tarde,
No exercício 5.1, cheguei ao mesmo resultado que vocês, excepto no 2kpi. Visto que o exercício pede para resolver dentro do intervalo pi/2, 3pi/2, não me parece que esteja correto adicionar o 2kpi à solução, porque a única solução que se encontra dentro do intervalo é 2pi/3 (se utilizarmos o exemplo de k=2, o ângulo seria 2pi/3+2*2*pi=14pi/3, que não se encontra no intervalo indicado). Se tiver algum erro no meu raciocínio, por favor expliquem, porque não estou a entender. Muito obg!

06 de Novembro de 2016, 17h26

Mensagem de Frederico

Não tinha visto o vídeo até ao fim, esqueçam o último comentário.

06 de Novembro de 2016, 20h29

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Frederico, fico feliz por saber que o vídeo com a resolução ajudou a esclarecer a tua dúvida!

09 de Novembro de 2016, 23h48

Mensagem de Fernando Dias Santos

Boa noite Professor. Poderia dar-me uma pista sobre o modo como como posso abordar a resolução do seguinte exercício, s.f.f.?
Seno ao quadrado de x mais cosseno de x igual a um, no intervalo [ - 3pi/2 , 5pi/2 ].
Obrigado e parabéns pelo trabalho produzido que muito me tem ajudado.

10 de Novembro de 2016, 08h51

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Fernando,
Apesar de ter por hábito responder apenas a dúvidas relacionadas com os exercícios propostos, vou-te dar uma pequena ajuda. Repara que a Fórmula Fundamental da Trigonometria diz-nos que `sin^2 alpha + cos^2 alpha=1` e assim sendo podemos afirmar que `sin^2 alpha=1 - cos^2 alpha`. No teu exercício temos o seguinte enunciado: `sin^2 alpha + cos alpha = 1`, podemos substituir o valor de `sin^2 alpha` pelo valor anteriormente encontrado, fica então `1 - cos^2 alpha + cos alpha = 1 hArr -cos^2 alpha + cos alpha = 0 hArr cos alpha (-cos alpha + 1) = 0`. A partir daqui penso que é fácil, aplica-se a Lei do Anulamento do Produto e resolve-se cada equação no intervalo pedido.

10 de Novembro de 2016, 09h24

Mensagem de Fernando

Professor, muito obrigado pelo seu cuidado. Percebi agora o detalhe que me estava a escapar.

14 de Janeiro de 2017, 17h38

Mensagem de Diogo Marques

Olá. Muito boa aula, como de costume :)
Uma pergunta relacionada com o exercício 2.2:
Se eu resolver com uma aplicação (Wolfram | Alpha), as soluções dadas são: x = -21π/8 + 3kπ v x = -9π/4 + 3kπ v x = -9π/8 + 3kπ , k ϵ Z
Apenas estou curioso porque isto permitiria descobrir mais soluções a cada k assumido (três soluções para k=0, 3 soluções para k=1, etc), sendo potencialmente mais prático. Alguma ideia de como resolver a equação de forma a dar estas soluções? Obrigado! :)

14 de Janeiro de 2017, 22h39

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Diogo,
Apesar de já ter ouvido falar desse programa, nunca o utilizei, nem faço ideia de como é que funciona. Admitindo que introduziste corretamente os dados do problema, podes não chegar à mesma expressão que constitui a Expressão Geral das Soluções (isto porque, existem várias, umas mais simplificadas que outras). Mas ao dar valores ao parâmetro `k`, de certeza que vamos chegar às mesmas soluções. Quanto ao número de soluções, não se pode dizer que uma expressão tenha mais soluções que outra. Isto porque, o número de soluções deste tipo de equações trigonométricas é infinito. Logo, apesar de perceber a tua dúvida, tenta entender que uma expressão não pode apresentar mais soluções que outra! Se ambas as expressões estiverem corretas, então apresentam exatamente as mesmas soluções.

25 de Abril de 2017, 21h56

Mensagem de Samuel Ferreira

Boa tarde,
Eu gostaria de saber porque é que no exercício 5.2, na resolução o professor, quando vai à procura de simplificar este passo: cos(x) = -cos(π/6), porque apenas considera o ângulo ( π - π/6 ) e descarta o ângulo (π + π/6), uma vez que também é igual a -cos(x). O passo seguinte não deveria de ser cos(x) = cos(π - π/6) V cos(x) = cos(π + π/6)?
Desde já agradeço toda a vossa disponibilidade exercida na realização destas aulas que são uma ferramenta espectacular.

26 de Abril de 2017, 08h41

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Samuel,
Se vires com atenção a parte final do vídeo, verás que o ângulo `pi + pi/6` não é descartado, pelo contrário, ele faz parte da solução. Como se trata de uma inequação, a solução final é um intervalo, neste caso a solução final do exercício corresponde ao intervalo `[-(5 pi)/6, 0]`. Ora o primeiro ângulo deste intervalo `-(5 pi)/6` é igual a `pi + pi/6`. De facto, `-(5 pi)/6 = (7 pi)/6`, só que no primeiro caso andamos no sentido negativo e no segundo caso andamos no sentido positivo, mas o ângulo é o mesmo! Espero ter ajudado.

Enviar Comentário/Dúvida




escrever carta

Todos os vídeos aqui presentes têm por objetivo fornecer ao aluno explicações de matemática online na forma mais intuitiva possível. Todos eles estão disponíveis para consulta através dos canais do YouTube: matematica.PT, ExplicaMat, Academia Aberta, Matemática Simples e Matemática no Mocho. Caso encontres algum erro, (por exemplo um vídeo que não funcione ou que não corresponda à explicação do exercício proposto) ou caso queiras dar alguma sugestão de melhoramento, não hesites em nos enviar um email através da página Contactar. Tentaremos dar resposta tão brevemente quanto possível.