Aulas > 12º ano > Números Complexos > Aula nº 4

Operações com números complexos.

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Aula Nº: 4 / Total: 6
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Introdução

Para que dois números complexos sejam iguais, é óbvio que os pontos que os representam têm que ser coincidentes, mas isso não quer dizer que as coordenadas polares sejam iguais. Recorda que a primeira das coordenadas polares representa a distância do ponto à origem; então tem que ser igual para os dois pontos, o que significa que os dois números têm o mesmo módulo. A segunda coordenada é uma medida do ângulo e sabes que a cada par de semirretas com a mesma origem corresponde uma infinidade de amplitudes, que diferem de múltiplos de `2 pi`. Ou seja, os argumentos de dois números complexos iguais não são, necessariamente, iguais.

Ouve-se dizer com frequência que não se somam nem subtraiem números complexos na forma trigonométrica. A afirmação não está bem formulada. Deve entender-se com esta frase que, em geral, não é fácil relacionar o módulo e o argumento da soma (ou diferença) de dois números complexos com o módulo e argumento de cada uma das parcelas. Basta observar a representação geométrica da adição de números complexos para perceber bem que a afirmação é verdadeira. Em compensação, é muito fácil relacionar o módulo e o argumento de `z_1 . z_2` e de `z_1 : z_2` com os módulos e argumentos de `z_1` e `z_2`.


ATENÇÃO

Nos novos programas de Matemática A, a forma de representar um número complexo na forma trigonométrica sofreu alterações. Já não se utiliza a notação: `z = rho.cis(theta)`.

Em todas as aulas ou exercícios onde aparecer esta notação, ela deverá ser entendida como sendo: `z = |z| e^(i theta)`. Em todo o caso, o seu significado não se altera, continua a ser: `z = |z| (cos theta + i sin theta).`



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Foram feitos 2 comentários/dúvidas.
21 de Novembro de 2016, 17h04

Mensagem de apteixeira98

Boa tarde, tenho um exercício que não me dá certo, que é o seguinte:
B = 1 + i^2 + i^4 + i^6 + ... + i^2n-2. Mostre que B=1 se n é ímpar e B=0 se n é par.
Não sei qual é o método mais ideal e mais eficaz para resolvê-lo.
Agradeço e aguardo a vossa resposta o mais breve possível.

22 de Novembro de 2016, 08h24

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Teixeira,
Por norma, apenas respondo a dúvidas sobre os exercícios presentes. Mas, como foste o primeiro a inaugurar este fórum vou abrir uma exceção. Antes de começar repara no valor que tomam os seguintes números complexos: `i^2=-1; i^4=1; i^6=-1; i^8=1`. Ao somar estas parcelas elas anulam-se uma as outras. Como o exercício que propões começa por somar 1, o resultado dessa soma irá depender do valor da última parcela. Se o `n` for ímpar o expoente da última parcela dá um número múltiplo de 4, logo o seu valor é 1 e não vai ser anulado porque a soma das parcelas inicia com o valor 1. Pelo contrário, se o `n` for par, a última parcela irá ter um expoente, que sendo múltiplo de 2 não é múltiplo de 4, assim o seu valor é -1 e vai ser anulado pelas outras parcelas, ficando o resultado da soma a ser zero. Espero ter ajudado!

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