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Monotonia de uma sucessão.

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Vê o(s) vídeo(s) que contém a explicação da matéria e depois tenta resolver exercícios sobre este tema. Bom estudo!

Aula Nº: 2 / Total: 7
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Introdução

Tal como enunciamos para as funções de variável real, também uma sucessão é crescente quando os objetos e as imagens variam no mesmo sentido, ou seja, quando a ordem aumenta, o termo também aumenta. Assim sendo, uma sucessão é monótona crescente, sempre que cada termo é maior que o anterior. É monótona decrescente quando cada termo é inferior ao anterior.

Se é verdade que basta encontrar um contraexemplo para garantir que a sucessão não é monótona e se também é verdade que a calculadora pode dar alguma ajuda, também é verdade que é preciso saber procurar no «lugar certo», o que nem sempre é fácil. Por outro lado, tratando-se de uma sucessão monótona, os exemplos não servem como prova. Não é possível verificar, para todos os termos, se estão sempre a aumentar ou a diminuir, uma vez que o conjunto dos números naturais é um conjunto infinito. Vamos estudar a monotonia através do estudo do sinal da diferença entre dois termos consecutivos, quaisquer, da sucessão.




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Foram feitos 23 comentários/dúvidas.
13 de Março de 2016, 11h43

Mensagem de Bernardino Quimino

Como calcular uma sucessão monótona, isto é, em todos os casos?

15 de Março de 2016, 09h22

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Bernardino,
Para averiguar a monotonia de uma sucessão, normalmente faz-se o estudo da diferença entre um termo e o termo anterior, isto é, calcula-se `U_(n+1) - U_n`. Se a partir daqui conseguirmos concluir que o seu valor é maior que zero então a sucessão é monótona crescente, caso seja inferior a zero a sucessão é monótona decrescente e se for igual a zero é uma sucessão constante. Se não conseguirmos chegar a nenhuma destas conclusões é porque não é monótona.

21 de Maio de 2016, 20h46

Mensagem de Sofia

Através do vídeo, consegui perceber que para a sucessão ser monótona tem de ser sempre ou crescente ou decrescente e quando é não monótona é porque umas vezes cresce e outra decresce e vemos isso substituindo o n por números naturais, mas não conseguimos fazer isso para todos. Portanto há outra maneira de fazer ou só recorrendo à tentativa? Desde já obrigada e parabéns pelo excelente trabalho.

22 de Maio de 2016, 08h42

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Sofia,
Claro que se pode provar que uma sucessão não é monótona calculando alguns dos seus termos e verificar que por vezes "cresce" e por vezes "decresce". O problema é que a sucessão pode ser crescente ao longo dos 50 primeiros termos e no termo de ordem 51 começar a decrescer. Obviamente que o aluno não pode estar a calcular todos os termos para verificar isso. A resposta do comentário anterior explica claramente qual é a única forma de averiguar a monotonia de uma sucessão. Boa sorte!

22 de Maio de 2016, 11h52

Mensagem de Maria

Como estudamos a monotonia de uma sucessão com expoente n?

23 de Maio de 2016, 09h11

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Maria,
Da mesma forma que as restantes. Isto é, calcula-se o `u_(n+1)` substituindo o expoente `n` por `n+1`. De seguida, normalmente separa-se a potência com base na regra da multiplicação de potências com a mesma base, para se poder simplificar. Tomemos como exemplo: `u_n = 2^n`, logo `u_(n+1)=2^(n+1)`. Seguidamente, faz-se: `u_(n+1)-u_n = 2^(n+1)-2^n=2^nxx2^1-2^n=2^n`. Como `2^n>0`, conclui-se que a sucessão `u_n` é monótona crescente. Espero que o exemplo tenha ajudado!

11 de Outubro de 2016, 19h37

Mensagem de Maisa Stefany Paris

Como estudar a monotonia de uma sucessao definida por ramos ?

12 de Outubro de 2016, 08h41

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Maisa,
O procedimento a seguir nas sucessões definidas por ramos é primeiro estudar a monotonia em cada ramo, como se fossem duas sucessões separadas. Caso exista monotonia e esta seja igual em ambos os ramos é anda necessário fazer um último passo. É necessário verificar o que se passa no ponto de mudança de ramo para garantir que a monotonia se mantém. Por exemplo, se a mudança de ramo for no sexto termo, convém verificar o que se passa nos termos de ordem 5, 6 e 7 para ver se a monotonia se mantém.

01 de Janeiro de 2017, 20h47

Mensagem de Catarina

Olá,
Gostaria de saber como se calcula a monotonia de uma sucessão definida por recorrência, por exemplo: U1=2 e Un+1=1/2(Un + 6), para n >= 2.

02 de Janeiro de 2017, 17h14

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Catarina,
Normalmente só respondo a questões que estejam relacionadas com os exercícios disponibilizados. Mas, como esta é uma dúvida frequente, vou responder. Se fosse possível, tentaríamos isolar no segundo ramo da sucessão definida por recorrência a seguinte diferença: `U_(n+1) - U_n`. Como tal não é possível, podemos recorrer a uma linguagem menos matemática para justificar que a soma do número 6 ao termo anterior, seguida pela divisão por 2 do seu resultado, vai sempre dar um termo cada vez maior que o anterior. Logo, a sucessão é monótona crescente. Espero ter ajudado!

08 de Fevereiro de 2017, 17h53

Mensagem de João

Boa tarde, como é que se estuda a monotonia de uma sucessão que se obtém por multiplicação de outras duas sucessões? p.e.: "Estuda a sucessão [(Un)(Vn)] quanto à monotonia."

09 de Fevereiro de 2017, 22h14

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
É difícil dar uma resposta concreta a essa pergunta, porque o estudo da monotonia do produto dessas duas sucessões vai depender do termo geral de cada uma delas. A forma mais simples de proceder, consiste em pensar numa terceira sucessão, que seja igual ao produto das duas dadas, ou seja, `W_n=U_nxxV_n`. A partir daqui, simplifica o termo geral desta nova sucessão e averigua se `W_n` é monótona.

25 de Março de 2017, 13h15

Mensagem de Manuel Guilherme

Se já nos apresenta a sucessão na forma Un+1 - Un como justificamos que a sucessão é monotona?

26 de Março de 2017, 15h06

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Manuel,
Se o termo geral da sucessão for da forma `U_(n+1) - U_n` então fica mais fácil a análise da monotonia da sucessão! Basta analisar a expressão e verificar se o seu valor é maior ou menor que zero, e assim concluir imediatamente se a sucessão é monótona crescente ou decrescente. Se pelo contrário, não for possível tirar nenhuma conclusão acerca do seu sinal, então a sucessão não é monótona.

15 de Maio de 2017, 06h38

Mensagem de Cristina

Uma sucessão é
> monótona
>>> monótona crescente
>>>>> monótona estritamente crescente
>>>>> monótona crescente em sentido lato (ou monótona não decrescente)
>>> monótona decrescente
>>>>> monótona estritamente decrescente
>>>>> monótona decrescente em sentido lato (ou monótona não crescente)
> não monótona
E a sucessão constante? É monótona ou não monótona?

15 de Maio de 2017, 08h16

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Cristina,
Uma sucessão constante é monótona. De acordo com a definição da monotonia das sucessões, tanto pode ser considerada monótona crescente em sentido lato como monótona decrescente em sentido lato. Mas, normalmente quando falamos da sua monotonia dizemos apenas que é uma sucessão constante.

14 de Janeiro de 2018, 20h45

Mensagem de Carla

Como podemos encontrar o limite de uma sucessão do tipo limite (1+1/3n)expoente 2n

15 de Janeiro de 2018, 08h47

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carla,
Não tenho por hábito resolver exercícios propostos pelos alunos. Por isso, a única ajuda que posso dar é que a resolução desse limite envolve a utilização do seguinte limite notável: `lim_(u_n->+oo)(1 + k/(u_n))^(u_n) = e^k`. Para conseguir isso, é preciso fazer algumas modificações na expressão que está no enunciado, de forma a encontrar uma equivalente, que tenha o denominador da fração igual ao expoente da potência.

28 de Janeiro de 2018, 11h19

Mensagem de Rafael Dinis

Olá,
Como podemos determinar a monotonia de uma sucessão por ramos em que num dos ramos n pertence aos números ímpares e noutro pertence aos números pares? Ou seja, como podemos estudar a monotonia quando não há só um ponto de mudança de ramos?
Obrigado, Rafael

29 de Janeiro de 2018, 08h46

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rafael,
Sem conhecer a sucessão é um pouco difícil dar a resposta. Normalmente esse tipo de sucessão não é monótona. Para provar isso, calcula por exemplo os 5 primeiros termos e assim verificas que a sucessão não é monótona crescente nem monótona decrescente.

04 de Novembro de 2018, 08h54

Mensagem de Paula Maria Gomes

Bom dia!
Para estudar a monotonia de uma sucessão calcula-se sempre Un+1 - Un, independentemente de estarmos perante uma progressão aritmética ou geométrica? Obrigada.

04 de Novembro de 2018, 16h29

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Paula,
O estudo da monotonia de uma sucessão não está relacionado com o facto desta ser uma progressão aritmética ou geométrica. Tanto assim é que, se já souberes que estás na presença de um destes dois tipos de progressão, então também já sabes que a sucessão é monótona. Assim sendo, o estudo faz-se com a fórmula que referes, normalmente ainda antes de saber que estamos na presença de uma progressão!

05 de Dezembro de 2018, 19h28

Mensagem de Érica

Muito útil, aprendi em 2 minutos o que não tinha aprendido em 10 aulas. Muito agradecida, continuação de bom trabalho!

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