Equações da reta no plano e no espaço: Equação reduzida, vetorial e cartesiana.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Uma reta pode ser definida por dois pontos ou, o que é equivalente, por um ponto e um vetor. Temos assim a equação vetorial da reta, que exprime que todos os pontos da reta, e só eles, verificam a condição: `(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+k(u_1,u_2,u_3), k in RR`.
Explicação da matéria
Duração: 16:11
Duração: 11:58
Exercícios resolvidos
Nível:
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08 de Julho de 2015, 02h40
Mensagem de Pedro Erick
Olá, eu queria saber se obtemos sempre a equação cartesiana apartir da equação vetorial?
09 de Julho de 2015, 16h37
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Pedro,
Para conseguir escrever a equação vetorial ou a equação cartesiana de uma reta é necessário conhecer um ponto e um vetor diretor dessa reta. Tendo essa informação torna-se fácil obter quer a equação vetorial quer a equação cartesiana. Se já conhecermos a eq. cartesiana é relativamente simples chegar a eq. vetorial. De igual forma se conhecermos a eq. vetorial é simples chegar à eq. cartesiana. Não sei se fui claro, espero ter ajudado!
26 de Maio de 2016, 15h19
Mensagem de João
Boas, no exercicio 2 como sabemos que o vetor CA e neste caso a reta s é perpendicular à reta r? Obrigado e continuação do excelente trabalho
27 de Maio de 2016, 09h25
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Essa é uma excelente pergunta. Voltei a ver o vídeo da resolução do exercício e de facto o vídeo não explica como é que sabemos que a reta `s` é perpendicular à reta `r`. A razão pela qual isso não vem explicado no vídeo é porque existe um teorema que nos diz que: "qualquer reta tangente à circunferência é sempre perpendicular ao raio dessa circunferência no ponto de tangência". O vetor `vec(CA)` é um raio da circunferência, logo é perpendicular à reta tangente. Bons estudos!
27 de Maio de 2016, 10h28
Mensagem de João
Certo fiquei esclarecido, muito obrigado pela ajuda e continuação do excelente trabalho que têm vindo a realizar!
08 de Junho de 2016, 00h04
Mensagem de Rodrigo
Boa noite.
No exercício 2 ao determinar a abcissa do ponto A, como este pertence à circunferência não deveria ter abcissa raiz de 2 já que o raio é raiz de 2?
Obrigado pelo site pois os seus métodos ajudam imenso na resolução.
08 de Junho de 2016, 15h23
Mensagem de Catarina
Boa Tarde!
Como é que se pode calcular o declive para passar da equação vetorial para a equação reduzida se for em Oxyz, no espaço? Obrigada pelo site!
08 de Junho de 2016, 22h12
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Rodrigo,
A resposta é não. A abcissa do ponto `A` seria `sqrt(2)` se a circunferência estivesse centrada na origem do referencial. Mas no vídeo com a resolução do exercício 2 é claramente explicado que o centro da circunferência se situa no ponto `C(0,1)`. E a distância do Ponto `C` ao ponto `A` é que é `sqrt(2)`. Volta a ver o vídeo com atenção e perceberás como é que se calcula a abcissa do ponto `A`. Espero ter-me feito entender!
08 de Junho de 2016, 23h49
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Catarina,
Quando se fala em equação reduzida da reta e no seu declive, estamos sempre a referir-nos à equação da reta no plano, isto é, `y=mx +b` em que `m` é o declive da reta e `b` é a ordenada na origem. Normalmente no espaço usamos a equação vetorial ou a equação cartesiana. Mas neste caso, não se fala em declive, mas sim em vetor diretor (vetor que indica a direção da reta). Se quiseres obter mais onformação sobre o cálculo do declive de uma reta, consulta esta página. Espero ter ajudado!
24 de Julho de 2016, 21h47
Mensagem de David Pinheiro
A equação vetorial da reta: (x,y,z) = (2,1,4) + k(-3,-2,-4) é equivalente a (x,y,z) = (2,1,4) + k(3,2,4)?
25 de Julho de 2016, 08h26
Mensagem de Vitor Nunes
Olá David,
A resposta é sim. Essas duas equações vetoriais da reta são equivalentes. Isto porque ambas passam no mesmo ponto e o vetor diretor da primeira equação é colinear com o vetor diretor da segunda equação. No exemplo que apresentaste, ambos os vetores têm o mesmo comprimento e a mesma direção, a única diferença é que o sentido de um é o oposto do outro. Mas, para efeitos da definição dos pontos de uma reta isso é indiferente. Espero ter ajudado!
26 de Dezembro de 2016, 17h14
Mensagem de Jose Vilhena
Boa tarde! Era só para alertar para uma situação da página que o prf. Vitor Nunes recomendou à Catarina sobre o declive, penso que uma das formas de o calcular está errada, acho que a ordem da subtração das ordenadas e abcissas está errada, é só... Continuação do excelente trabalho!!! Obrigado.
26 de Dezembro de 2016, 18h20
Mensagem de Vitor Nunes
Olá José,
Agradeço quando me chamam à atenção para possíveis erros existentes no site. Mas a fórmula usada para calcular o declive da reta está certa! Repara que é indiferente estar `m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)` ou estar `m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)`. Isto porque ambas as operações vão produzir o mesmo número. Experimenta e verás. Em todo o caso, obrigado.
11 de Janeiro de 2017, 20h42
Mensagem de Joao
Como tiro o vetor diretor daqui x/15=y/12=2z/11 Visto ter o 2 junto do z
12 de Janeiro de 2017, 08h56
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Normalmente só respondo a questões relacionadas com os exercícios presentes na página. A tua dúvida é comum e é de fácil resolução. Dada a equação cartesiana da reta `x/15=y/12=(2z)/11`, para conseguirmos obter o ponto e o vetor diretor temos que primeiro isolar a variável `z`, para isso basta dividir o numerador e o denominador por 2. Ficando então a equação cartesiana com o seguinte formato: `x/15=y/12=z/(11/2)`.
31 de Janeiro de 2017, 12h30
Mensagem de Beatriz
Boa tarde!
No vídeo, apresentam a equação cartesiana de uma forma que não me lembro de usar nas aulas. Lembro-me de usarmos ax + by + cz + d = 0. Qual é a diferença entre as duas?
01 de Fevereiro de 2017, 08h32
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Beatriz,
Não há qualquer diferença, ambas podem ser utilizadas. Normalmente, como ponto de partida, utilizo a seguinte equação cartesiana do plano: `a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0`. Esta equação depois de simplificada, irá ficar igual àquela que apresentaste: `ax + by + cz + d = 0`. Portanto, não há qualquer diferença. Utiliza aquela que te der mais jeito!
03 de Fevereiro de 2017, 14h30
Mensagem de Beatriz
Entendi, muito obrigada.
Continuação do fantástico trabalho!
08 de Junho de 2017, 19h19
Mensagem de Carolina Esteve
Olá professor.
Tenho uma dúvida relativamente a vetores diretores de uma reta. Um vetor diretor de uma reta tem necessariamente de estar contido na reta ou pode ser paralelo a esta?
Se nós soubermos que um vetor é perpendicular a um plano e que uma reta é perpendicular a esse mesmo plano, podemos dizer que o vetor é um vetor diretor da reta, mesmo não sabendo se o vetor é colinear com a reta?
09 de Junho de 2017, 09h25
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Carolina,
O vetor diretor não precisa de estar "contido" na reta, basta ser "paralelo" a ela. A definição de vetor diretor, implica que qualquer vetor colinear (com a mesma direção da reta), seja um vetor diretor da reta. A resposta à segunda pergunta é SIM. Se o vetor é perpendicular a um plano (vetor normal do plano), então necessariamente ele é um vetor diretor de uma reta que seja perpendicular a esse plano. Espero que tenhas ficado esclarecida!
08 de Dezembro de 2017, 13h52
Mensagem de Laura
Olá! Quando 2 retas estão contidas no mesmo plano e têm o mesmo vetor diretor, quer dizer que são paralelas?
09 de Dezembro de 2017, 09h26
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Laura,
É isso mesmo. Se as retas estão contidas no mesmo plano e se têm o mesmo vetor diretor então ou são estritamente paralelas ou são coincidentes! Só uma chamada de atenção para o facto de, se duas retas possuêm o mesmo vetor diretor é porque pertencem obrigatoriamente ao mesmo plano (são complanares), logo o enunciado da pergunta não precisa sequer de referir que pertencem ao mesmo plano!
23 de Fevereiro de 2018, 18h17
Mensagem de Rúben
Olá boa tarde,
Estou com uma dúvida acerca do cálculo para definir o vetor diretor da reta (neste caso no plano). No meu caso é o vetor de pontos C(5,-3) e A(2,1).
25 de Fevereiro de 2018, 16h16
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Rúben,
É relativamente simples obter o vetor diretor de uma reta conhecendo dois dos seus pontos. No teu exemplo mencionas que conheces as coordenadas dos pontos `A(2,1)` e `C(5,-3)`, logo a reta segue a direção do vetor diretor `vec(AC)` (ou `vec(CA)` uma vez que é indiferente). Para calcular as coordenadas de `vec(AC)`, basta fazer `C - A`, ou seja, `(5, -3) - (2,1) = (3, -4)`. Como vês é bastante fácil!
07 de Julho de 2018, 19h23
Mensagem de Francisco Monteiro
Como faço esse exercício?
Considere num referencial Oxyz o ponto A(1,2,-1) e a recta r definida por (x,y,z)=(-2,0,4)+k(3,-1,2)
a) Determine uma equação da recta que passa pelo ponto A e tem a direcção do eixo Oz.
08 de Julho de 2018, 10h07
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Francisco,
Só costumo responder a exercícios presentes no site, mas como estou com tempo vou prestar-te um pequeno esclarecimento. Se a reta tem a direção do eixo `Oz` então um dos seus vetores diretores poderá ser `(0,0,1)`. A partir daqui basta utilizar a equação vetorial da reta, uma vez que já temos o ponto e o vetor diretor, ficando com este formato: `(x,y,z)=(1,2,-1)+k(0,0,1), k in ZZ`. A equação da reta `r` não é necessária para este exercício, deve estar no enunciado por causa de outra alínea. Espero ter ajudado.
10 de Janeiro de 2019, 18h13
Mensagem de Rita
É possível achar um vetor diretor para uma reta cuja equação é y=3? (ou seja a reta não tem declive)
10 de Janeiro de 2019, 19h37
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Rita,
Não só é possível, como é muito fácil. Tal como referes na tua pergunta, a reta não tem declive, portanto é paralela ao eixo das abcissas. Assim sendo, basta encontrar um vetor que tenha essa direção, para que ele possa ser considerado vetor diretor da reta. Por exemplo: `vec u = (0,1)`
22 de Janeiro de 2019, 20h18
Mensagem de Luisa
Olá como poderei saber qual o vetor diretor de uma reta paralela a um plano?
23 de Janeiro de 2019, 10h14
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Luísa,
O primeiro passo consiste em descobrir o vetor normal do plano. Tendo em conta que a reta é paralela ao plano, então o seu vetor diretor irá ser perpendicular ao vetor normal do plano. Sabendo que o produto escalar de dois vetores perpendiculares é igual a zero, isso permite-nos descobrir as coordenadas do vetor diretor da reta. Tal poderá ser feito, através de tentativa e erro ou através de um sistema. Espero ter ajudado!
06 de Janeiro de 2020, 20h34
Mensagem de Mário
Olá.
Eu gostava de saber como é que posso passar de uma reta definida por uma equação para uma reta definida por uma equação vetorial. Basicamente queria saber como resolver este exercício:
Reta r definida pela equação 2x-y+5=0.
Qual das condições também define a reta r?
A- (x, y)=(-1,2)+k(3,6)
B- (x, y) =(1, 7)+k(4,2)
C- (x, y) =(-2,1)+k(1,2)
D- (x, y) =(0, 5)+k(2,1)
[k pertence aos números reais]
Muito obrigado pelo vídeo!
07 de Janeiro de 2020, 07h58
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Mário,
Não tenho por hábito responder a dúvidas sobre exercícios enviados pelos alunos. Mas como a dúvida que colocas é muito comum, aqui vai a resolução:
Primeiro passo, consiste em resolver a equação que te deram em ordem a `y`, para assim obter a equação reduzida da reta, ou seja, `2x-y+5=0 hArr y=2x+5`. Posto isto, repara no valor do declive, `m=2`. Sabemos que as coordenadas do vetor diretor de uma reta, podem ser obtidas a partir do seu declive. Assim sendo, o vetor diretor tem como coordenadas, `vec v=(1,2)`. Das 4 opções que apresentas, a única equação vetorial da reta que tem este vetor diretor é a opção C.
07 de Dezembro de 2020, 15h44
Mensagem de Matilde
Olá!
Gostaria saber como é que com dois pontos no referencial e com a equação de uma reta, consigo determinar um ponto dessa mesma reta?
07 de Dezembro de 2020, 16h42
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Matilde,
Como não referes se é no plano ou no espaço, vou partir do princípio que é no plano. Tendo dois pontos do referencial é relativamente simples chegar à equação reduzida da reta `y=mx+b`. Partindo desta equação, se quiseres obter qualquer outro ponto da reta, basta substituir a abcissa `x` por um valor à tua escolha, posto isto, resolves a equação e encontras o valor da ordenada `y`. Com este método podes encontrar qualquer ponto da reta. De igual forma, podes utilizar este processo para descobrir se determinado ponto pertence ou não à reta.
05 de Janeiro de 2021, 23h56
Mensagem de Diogo
Olá!
Gostaria de saber como é que cálculo o ponto de interseção de 2 retas no espaço... Obrigado e bom ano desde já!
06 de Janeiro de 2021, 09h40
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Diogo,
Para calcular o ponto de interseção de duas retas no espaço, basta fazer um sistema de duas equações com as equações de cada uma dessas retas. A solução do sistema são as coordenadas do ponto de interseção. Se o sistema for impossível, ou seja, se não tiver solução, então é porque as duas retas não se intersetam.
22 de Janeiro de 2022, 10h31
Mensagem de João
Bom dia.
Alguém sabe como encontrar as coordenadas de um ponto, neste caso A? Eu tenho um ponto D (-1 , 2) e uma reta reduzida de AD y=-x+1. Como posso fazer para que este ponto seja fácil de encontrar?
23 de Janeiro de 2022, 09h10
Mensagem de Vitor Nunes
Olá João,
Se o ponto `A` for um ponto qualquer que pertença à reta, então basta dar um valor qualquer à abcissa. Vamos supor que dás à abcissa o valor 4, então nesse caso substituindo esse valor na equação da reta obtemos `y=-4+1=-3`. Portanto as coordenadas do ponto `A` poderão ser `(4,-3)`.
23 de Janeiro de 2022, 11h54
Mensagem de Luís
Bom dia.
Como descubro o vetor diretor de uma reta r definida por x=1 ^ z=2?
24 de Janeiro de 2022, 09h40
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Luís,
Tenta mentalmente imaginar o plano `x=1`. Agora que já conseguiste, tenta imaginar o plano `z=2`. Verificas que esses dois planos se intersetam, certo? Essa interseção é uma reta, e mentalmente (com alguma prática) conseguirás visualizar a reta e concluir que ela é paralela ao eixo `Oy`. Assim sendo, um vetor diretor dessa reta, poderá ser qualquer vetor com a direção do eixo das ordenadas, como por exemplo `(0,1,0)`. Espero ter ajudado!
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