Aulas > 11º ano > Geometria Analítica > Aula nº 6

Equações da reta no plano e no espaço: Equação reduzida, vetorial e cartesiana

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Vê o(s) vídeo(s) que contém a explicação da matéria e depois tenta resolver exercícios sobre este tema. Bom estudo!

Aula Nº: 6 / Total: 14
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Introdução

Uma reta pode ser definida por dois pontos ou, o que é equivalente, por um ponto e um vetor. Temos assim a equação vetorial da reta, que exprime que todos os pontos da reta, e só eles, verificam a condição: `(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+k(u_1,u_2,u_3), k in RR`.


Exercícios resolvidos



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Foram feitos 30 comentários/dúvidas.
08 de Julho de 2015, 02h40

Mensagem de Pedro Erick

Olá, eu queria saber se obtemos sempre a equação cartesiana apartir da equação vetorial?

09 de Julho de 2015, 16h37

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Pedro,
Para conseguir escrever a equação vetorial ou a equação cartesiana de uma reta é necessário conhecer um ponto e um vetor diretor dessa reta. Tendo essa informação torna-se fácil obter quer a equação vetorial quer a equação cartesiana. Se já conhecermos a eq. cartesiana é relativamente simples chegar a eq. vetorial. De igual forma se conhecermos a eq. vetorial é simples chegar à eq. cartesiana. Não sei se fui claro, espero ter ajudado!

26 de Maio de 2016, 15h19

Mensagem de João

Boas, no exercicio 2 como sabemos que o vetor CA e neste caso a reta s é perpendicular à reta r? Obrigado e continuação do excelente trabalho

27 de Maio de 2016, 09h25

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Essa é uma excelente pergunta. Voltei a ver o vídeo da resolução do exercício e de facto o vídeo não explica como é que sabemos que a reta `s` é perpendicular à reta `r`. A razão pela qual isso não vem explicado no vídeo é porque existe um teorema que nos diz que: "qualquer reta tangente à circunferência é sempre perpendicular ao raio dessa circunferência no ponto de tangência". O vetor `vec(CA)` é um raio da circunferência, logo é perpendicular à reta tangente. Bons estudos!

27 de Maio de 2016, 10h28

Mensagem de João

Certo fiquei esclarecido, muito obrigado pela ajuda e continuação do excelente trabalho que têm vindo a realizar!

08 de Junho de 2016, 00h04

Mensagem de Rodrigo

Boa noite.
No exercício 2 ao determinar a abcissa do ponto A, como este pertence à circunferência não deveria ter abcissa raiz de 2 já que o raio é raiz de 2?
Obrigado pelo site pois os seus métodos ajudam imenso na resolução.

08 de Junho de 2016, 22h12

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rodrigo,
A resposta é não. A abcissa do ponto `A` seria `sqrt(2)` se a circunferência estivesse centrada na origem do referencial. Mas no vídeo com a resolução do exercício 2 é claramente explicado que o centro da circunferência se situa no ponto `C(0,1)`. E a distância do Ponto `C` ao ponto `A` é que é `sqrt(2)`. Volta a ver o vídeo com atenção e perceberás como é que se calcula a abcissa do ponto `A`. Espero ter-me feito entender!

08 de Junho de 2016, 15h23

Mensagem de Catarina

Boa Tarde!
Como é que se pode calcular o declive para passar da equação vetorial para a equação reduzida se for em Oxyz, no espaço? Obrigada pelo site!

08 de Junho de 2016, 23h49

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Catarina,
Quando se fala em equação reduzida da reta e no seu declive, estamos sempre a referir-nos à equação da reta no plano, isto é, `y=mx +b` em que `m` é o declive da reta e `b` é a ordenada na origem. Normalmente no espaço usamos a equação vetorial ou a equação cartesiana. Mas neste caso, não se fala em declive, mas sim em vetor diretor (vetor que indica a direção da reta). Se quiseres obter mais onformação sobre o cálculo do declive de uma reta, consulta esta página. Espero ter ajudado!

24 de Julho de 2016, 21h47

Mensagem de David Pinheiro

A equação vetorial da reta: (x,y,z) = (2,1,4) + k(-3,-2,-4) é equivalente a (x,y,z) = (2,1,4) + k(3,2,4)?

25 de Julho de 2016, 08h26

Mensagem de Vitor Nunes

Olá David,
A resposta é sim. Essas duas equações vetoriais da reta são equivalentes. Isto porque ambas passam no mesmo ponto e o vetor diretor da primeira equação é colinear com o vetor diretor da segunda equação. No exemplo que apresentaste, ambos os vetores têm o mesmo comprimento e a mesma direção, a única diferença é que o sentido de um é o oposto do outro. Mas, para efeitos da definição dos pontos de uma reta isso é indiferente. Espero ter ajudado!

26 de Dezembro de 2016, 17h14

Mensagem de Jose Vilhena

Boa tarde! Era só para alertar para uma situação da página que o prf. Vitor Nunes recomendou à Catarina sobre o declive, penso que uma das formas de o calcular está errada, acho que a ordem da subtração das ordenadas e abcissas está errada, é só... Continuação do excelente trabalho!!! Obrigado.

26 de Dezembro de 2016, 18h20

Mensagem de Vitor Nunes

Olá José,
Agradeço quando me chamam à atenção para possíveis erros existentes no site. Mas a fórmula usada para calcular o declive da reta está certa! Repara que é indiferente estar `m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)` ou estar `m=(y_1-y_2)/(x_1-x_2)`. Isto porque ambas as operações vão produzir o mesmo número. Experimenta e verás. Em todo o caso, obrigado.

11 de Janeiro de 2017, 20h42

Mensagem de Joao

Como tiro o vetor diretor daqui x/15=y/12=2z/11 Visto ter o 2 junto do z

12 de Janeiro de 2017, 08h56

Mensagem de Vitor Nunes

Olá João,
Normalmente só respondo a questões relacionadas com os exercícios presentes na página. A tua dúvida é comum e é de fácil resolução. Dada a equação cartesiana da reta `x/15=y/12=(2z)/11`, para conseguirmos obter o ponto e o vetor diretor temos que primeiro isolar a variável `z`, para isso basta dividir o numerador e o denominador por 2. Ficando então a equação cartesiana com o seguinte formato: `x/15=y/12=z/(11/2)`.

31 de Janeiro de 2017, 12h30

Mensagem de Beatriz

Boa tarde!
No vídeo, apresentam a equação cartesiana de uma forma que não me lembro de usar nas aulas. Lembro-me de usarmos ax + by + cz + d = 0. Qual é a diferença entre as duas?

01 de Fevereiro de 2017, 08h32

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Beatriz,
Não há qualquer diferença, ambas podem ser utilizadas. Normalmente, como ponto de partida, utilizo a seguinte equação cartesiana do plano: `a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0`. Esta equação depois de simplificada, irá ficar igual àquela que apresentaste: `ax + by + cz + d = 0`. Portanto, não há qualquer diferença. Utiliza aquela que te der mais jeito!

03 de Fevereiro de 2017, 14h30

Mensagem de Beatriz

Entendi, muito obrigada.
Continuação do fantástico trabalho!

08 de Junho de 2017, 19h19

Mensagem de Carolina Esteve

Olá professor.
Tenho uma dúvida relativamente a vetores diretores de uma reta. Um vetor diretor de uma reta tem necessariamente de estar contido na reta ou pode ser paralelo a esta?
Se nós soubermos que um vetor é perpendicular a um plano e que uma reta é perpendicular a esse mesmo plano, podemos dizer que o vetor é um vetor diretor da reta, mesmo não sabendo se o vetor é colinear com a reta?

09 de Junho de 2017, 09h25

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Carolina,
O vetor diretor não precisa de estar "contido" na reta, basta ser "paralelo" a ela. A definição de vetor diretor, implica que qualquer vetor colinear (com a mesma direção da reta), seja um vetor diretor da reta. A resposta à segunda pergunta é SIM. Se o vetor é perpendicular a um plano (vetor normal do plano), então necessariamente ele é um vetor diretor de uma reta que seja perpendicular a esse plano. Espero que tenhas ficado esclarecida!

08 de Dezembro de 2017, 13h52

Mensagem de Laura

Olá! Quando 2 retas estão contidas no mesmo plano e têm o mesmo vetor diretor, quer dizer que são paralelas?

09 de Dezembro de 2017, 09h26

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Laura,
É isso mesmo. Se as retas estão contidas no mesmo plano e se têm o mesmo vetor diretor então ou são estritamente paralelas ou são coincidentes! Só uma chamada de atenção para o facto de, se duas retas possuêm o mesmo vetor diretor é porque pertencem obrigatoriamente ao mesmo plano (são complanares), logo o enunciado da pergunta não precisa sequer de referir que pertencem ao mesmo plano!

23 de Fevereiro de 2018, 18h17

Mensagem de Rúben

Olá boa tarde,
Estou com uma dúvida acerca do cálculo para definir o vetor diretor da reta (neste caso no plano). No meu caso é o vetor de pontos C(5,-3) e A(2,1).

25 de Fevereiro de 2018, 16h16

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rúben,
É relativamente simples obter o vetor diretor de uma reta conhecendo dois dos seus pontos. No teu exemplo mencionas que conheces as coordenadas dos pontos `A(2,1)` e `C(5,-3)`, logo a reta segue a direção do vetor diretor `vec(AC)` (ou `vec(CA)` uma vez que é indiferente). Para calcular as coordenadas de `vec(AC)`, basta fazer `C - A`, ou seja, `(5, -3) - (2,1) = (3, -4)`. Como vês é bastante fácil!

07 de Julho de 2018, 19h23

Mensagem de Francisco Monteiro

Como faço esse exercício?
Considere num referencial Oxyz o ponto A(1,2,-1) e a recta r definida por (x,y,z)=(-2,0,4)+k(3,-1,2)
a) Determine uma equação da recta que passa pelo ponto A e tem a direcção do eixo Oz.

08 de Julho de 2018, 10h07

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Francisco,
Só costumo responder a exercícios presentes no site, mas como estou com tempo vou prestar-te um pequeno esclarecimento. Se a reta tem a direção do eixo `Oz` então um dos seus vetores diretores poderá ser `(0,0,1)`. A partir daqui basta utilizar a equação vetorial da reta, uma vez que já temos o ponto e o vetor diretor, ficando com este formato: `(x,y,z)=(1,2,-1)+k(0,0,1), k in ZZ`. A equação da reta `r` não é necessária para este exercício, deve estar no enunciado por causa de outra alínea. Espero ter ajudado.

10 de Janeiro de 2019, 18h13

Mensagem de Rita

É possível achar um vetor diretor para uma reta cuja equação é y=3? (ou seja a reta não tem declive)

10 de Janeiro de 2019, 19h37

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Rita,
Não só é possível, como é muito fácil. Tal como referes na tua pergunta, a reta não tem declive, portanto é paralela ao eixo das abcissas. Assim sendo, basta encontrar um vetor que tenha essa direção, para que ele possa ser considerado vetor diretor da reta. Por exemplo: `vec u = (0,1)`

22 de Janeiro de 2019, 20h18

Mensagem de Luisa

Olá como poderei saber qual o vetor diretor de uma reta paralela a um plano?

23 de Janeiro de 2019, 10h14

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Luísa,
O primeiro passo consiste em descobrir o vetor normal do plano. Tendo em conta que a reta é paralela ao plano, então o seu vetor diretor irá ser perpendicular ao vetor normal do plano. Sabendo que o produto escalar de dois vetores perpendiculares é igual a zero, isso permite-nos descobrir as coordenadas do vetor diretor da reta. Tal poderá ser feito, através de tentativa e erro ou através de um sistema. Espero ter ajudado!

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