Posição relativa entre retas e planos. Posição relativa entre planos.
Vê com atenção o vídeo que contém a explicação da matéria. De seguida, imprime a ficha de trabalho e tenta resolver o máximo de exercícios que conseguires sobre este tema. Se tiveres alguma dúvida nos exercícios que disponibilizamos, consulta a resolução proposta ou coloca uma questão no fórum. Bom estudo!
Introdução
Se duas retas, no espaço, são paralelas ou perpendiculares o mesmo se passa com os seus vetores diretores e reciprocamente. Para averiguar se dois planos são paralelos ou se são perpendiculares, usam-se os vetores normais a esses planos.
Entre planos e retas, os problemas relativos a paralelismo e perpendicularidade resolvem-se facilmente recorrendo aos vetores diretores das retas e aos vetores normais do planos. A condição de perpendicularidade entre uma reta e um plano é que o vetor diretor da reta seja paralelo ao vetor normal do plano. A condição de paralelismo entre uma reta e um plano é que o vetor diretor da reta seja perpendicular ao vetor normal do plano.
Explicação da matéria
Exercícios resolvidos
Nível:
Nível:
Nível:
Nível:
ATENÇÃO: Para poder utilizar esta opção terá que fazer Utiliza este espaço para comentários ou dúvidas
Neste local poderás colocar os teus comentários e as tuas dúvidas. Todas as mensagens que não estiverem diretamente relacionadas com este tema, ou que eventualmente contenham linguagem considerada imprópria serão removidas.
09 de Janeiro de 2016, 18h35
Mensagem de VSKI
Olá como se pode determinar uma reta que seja a interseção de dois planos?
11 de Janeiro de 2016, 12h10
Mensagem de Vitor Nunes
Olá VSKI,
Tendo a equação dos dois planos é relativamente simples encontrar a reta resultante da sua interseção. Basta colocar as duas equações num sistema, de seguida resolver o sistema pelo método da adição ordenada ou pelo método da substituição e no final dessa resolução iremos obter a equação da reta formada pela interseção dos dois planos (se houver interseção!).
Espero ter ajudado!
17 de Janeiro de 2016, 11h13
Mensagem de DMM
Olá,
Tenho uma dúvida num exercicio. Tenho a equação de um plano e de uma reta de onde posso tirar os vetores das respetivas. Mas no plano ( -x + 3y -kz = -1 ) tenho um k. A pergunta é: determina k de modo a que a reta r seja paralela ao plano.
PS: a equação da reta é: x-2/3 = y+1/-2 = z-3
Obrigada.
17 de Janeiro de 2016, 19h29
Mensagem de Vitor Nunes
Olá DMM,
Não vou resolver o exercício, porque por hábito apenas respondo a perguntas que estejam relacionadas com os exercícios aqui presentes. Mas, posso indicar-te os passos a seguir para chegares à solução:
1º Obter o vetor normal do plano a partir da equação geral do plano;
2º Obter o vetor diretor da reta a partir da equação cartesiana da reta;
3º Igual o produto escalar destes dois vetores a zero, uma vez que eles são perpendiculares quando a reta é paralela ao plano.
Boa sorte!
22 de Janeiro de 2017, 16h56
Mensagem de Paulo
Boa aula mas eu estou a ter alguns problemas a resolver um exercício que pede as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano a, r(reta): (x,y,z)=(-1,0,3) + k(2,3,0) e plano a de equaçao: x=z.
Mesmo que não possa resolver, se puder dar uma ajuda fico bastante agradecido
23 de Janeiro de 2017, 09h08
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Paulo,
Vamos começar por simplificar a equação da reta: `(x,y,z) = (-1+2k, 3k, 3)`. A partir daqui é fácil. Sabes que todos os pontos do plano obedecem à equação `x=z`. Logo, apenas precisamos de ir à equação da reta e igualar estas duas coordenadas. Para isso basta fazer: `-1+2k = 3`. Resolvendo este passo, ficas a conhecer o valor de `k` e a partir daqui obténs as coordenadas do ponto de interseção da reta com o plano. Espero que tenhas percebido. Bom estudo!
08 de Janeiro de 2019, 22h02
Mensagem de Mary
Tenho uma dúvida! Se os vetores normais a 2 planos perpendiculares são perpendiculares e conseguimos uma relação pelo produto escalar se igualar a 0. Mas e se os vetores normais forem de 2 planos paralelos que relação existe entre eles?
09 de Janeiro de 2019, 11h02
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Mary,
Boa questão! De facto, se os planos forem perpendiculares, então os seus vetores normais também são perpendiculares, logo o seu produto escalar é zero. Por outro lado, se os planos forem paralelos, então os seus vetores normais também são paralelos, isto significa que esses vetores são colineares. Temos uma página inteiramente dedicada aos vetores colineares, onde poderás encontrar alguns pequenos "truques", que te ajudam a descobrir rapidammente se dois vetores no plano ou no espaço são colineares.
03 de Novembro de 2019, 12h23
Mensagem de Fábio
Bom dia,
No exercício 4 na 1.1 a opção que foi considerada correta foi a D: "são todas verdadeiras", mas na afirmação III, apesar do vetor normal ser efetivamente perpendicular aos 2 vetores paralelos ao plano dados na equação vetorial, o ponto (-2,-2,7) não faz parte do plano. Se substituirmos os valores deste ponto na equação do plano "x+y+z+d=0" sendo d = 0, então o ponto não faz parte do plano, fazendo com que a afirmação III seja falsa e assim a resposta ao problema seja a opção C e não a D.
03 de Novembro de 2019, 12h25
Mensagem de Fábio
Esqueça. Já encontrei o erro no meu raciocínio. Mas obrigado na mesma :)
03 de Novembro de 2019, 17h57
Mensagem de Vitor Nunes
Olá Fábio,
Fico contente que tenhas conseguido chegar à conclusão certa sozinho, porque é assim que aprendemos e evoluímos. Muitos alunos vão imediatamente ver o vídeo da resolução dos exercícios, mas esse não é o procedimento ideal. Para conseguirem aprender, devem primeiro perder algum tempo com o exercício, "lutar" com ele até conseguirmos dar-lhe a volta e chegar à solução. Só quando já estamos esgotados e cansados de pensar é que devemos então sim, olhar para o vídeo e ver como é que se chega à solução certa. Nada nos dá mais satisfação, quando estamos a estudar matemática, do que a sensação de conseguirmos chegar lá sozinhos, sem a ajuda de ninguém, isso sem dúvida que ajuda a aumentar a nossa autoconfiança e a deixar-nos com as capacidades necessárias para enfrentarmos as provas. Outro pormenor importante, que acabaste de fazer, é o de questionar tudo, até mesmo as resoluções sugeridas pelos professores. Porque isso prova que temos capacidade analítica e que somos capazes de tirar as nossas próprias conclusões. Parabéns, continua assim, vais no caminho certo.
09 de Novembro de 2019, 16h21
Mensagem de Fábio
Boa tarde,
Eu sempre adorei e adoro matemática por isso para mim todo o esforço para a compreender nunca é demais. Eu não dou matemática A na escola e estou a estudar por mim. Estou ligeiramente apertado a nível de tempo porque tenho muito para aprender até ao próximo exame, mas com este site e com toda a ajuda, esforço e dedicação que vocês puseram aqui está a ajudar-me imenso. Não tenho palavras para agradecer. Mesmo...
Obrigado.
Todos os vídeos aqui presentes têm por objetivo fornecer ao aluno explicações de matemática online na forma mais intuitiva possível. Todos eles estão disponíveis para consulta através dos canais do YouTube: matematica.PT, Os números da Inês, ExplicaMat, Academia Aberta, Matemática Simples e Matemática no Mocho. Caso encontres algum erro, (por exemplo um vídeo que não funcione ou que não corresponda à explicação do exercício proposto) ou caso queiras dar alguma sugestão de melhoramento, não hesites em nos enviar um email através da página Contactar. Tentaremos dar resposta tão brevemente quanto possível.
