Aulas > 11º ano > Geometria Analítica > Aula nº 12

Posição relativa entre retas e planos. Posição relativa entre planos.

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Aula Nº: 12 / Total: 14
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Introdução

Se duas retas, no espaço, são paralelas ou perpendiculares o mesmo se passa com os seus vetores diretores e reciprocamente. Para averiguar se dois planos são paralelos ou se são perpendiculares, usam-se os vetores normais a esses planos.
Entre planos e retas, os problemas relativos a paralelismo e perpendicularidade resolvem-se facilmente recorrendo aos vetores diretores das retas e aos vetores normais do planos. A condição de perpendicularidade entre uma reta e um plano é que o vetor diretor da reta seja paralelo ao vetor normal do plano. A condição de paralelismo entre uma reta e um plano é que o vetor diretor da reta seja perpendicular ao vetor normal do plano.


Exercícios resolvidos



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Foram feitos 8 comentários/dúvidas.
09 de Janeiro de 2016, 18h35

Mensagem de VSKI

Olá como se pode determinar uma reta que seja a interseção de dois planos?

11 de Janeiro de 2016, 12h10

Mensagem de Vitor Nunes

Olá VSKI,
Tendo a equação dos dois planos é relativamente simples encontrar a reta resultante da sua interseção. Basta colocar as duas equações num sistema, de seguida resolver o sistema pelo método da adição ordenada ou pelo método da substituição e no final dessa resolução iremos obter a equação da reta formada pela interseção dos dois planos (se houver interseção!).
Espero ter ajudado!

17 de Janeiro de 2016, 11h13

Mensagem de DMM

Olá,
Tenho uma dúvida num exercicio. Tenho a equação de um plano e de uma reta de onde posso tirar os vetores das respetivas. Mas no plano ( -x + 3y -kz = -1 ) tenho um k. A pergunta é: determina k de modo a que a reta r seja paralela ao plano.
PS: a equação da reta é: x-2/3 = y+1/-2 = z-3
Obrigada.

17 de Janeiro de 2016, 19h29

Mensagem de Vitor Nunes

Olá DMM,
Não vou resolver o exercício, porque por hábito apenas respondo a perguntas que estejam relacionadas com os exercícios aqui presentes. Mas, posso indicar-te os passos a seguir para chegares à solução:
1º Obter o vetor normal do plano a partir da equação geral do plano;
2º Obter o vetor diretor da reta a partir da equação cartesiana da reta;
3º Igual o produto escalar destes dois vetores a zero, uma vez que eles são perpendiculares quando a reta é paralela ao plano.
Boa sorte!

22 de Janeiro de 2017, 16h56

Mensagem de Paulo

Boa aula mas eu estou a ter alguns problemas a resolver um exercício que pede as coordenadas do ponto de intersecção da reta r com o plano a, r(reta): (x,y,z)=(-1,0,3) + k(2,3,0) e plano a de equaçao: x=z.
Mesmo que não possa resolver, se puder dar uma ajuda fico bastante agradecido

23 de Janeiro de 2017, 09h08

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Paulo,
Vamos começar por simplificar a equação da reta: `(x,y,z) = (-1+2k, 3k, 3)`. A partir daqui é fácil. Sabes que todos os pontos do plano obedecem à equação `x=z`. Logo, apenas precisamos de ir à equação da reta e igualar estas duas coordenadas. Para isso basta fazer: `-1+2k = 3`. Resolvendo este passo, ficas a conhecer o valor de `k` e a partir daqui obténs as coordenadas do ponto de interseção da reta com o plano. Espero que tenhas percebido. Bom estudo!

08 de Janeiro de 2019, 22h02

Mensagem de Mary

Tenho uma dúvida! Se os vetores normais a 2 planos perpendiculares são perpendiculares e conseguimos uma relação pelo produto escalar se igualar a 0. Mas e se os vetores normais forem de 2 planos paralelos que relação existe entre eles?

09 de Janeiro de 2019, 11h02

Mensagem de Vitor Nunes

Olá Mary,
Boa questão! De facto, se os planos forem perpendiculares, então os seus vetores normais também são perpendiculares, logo o seu produto escalar é zero. Por outro lado, se os planos forem paralelos, então os seus vetores normais também são paralelos, isto significa que esses vetores são colineares. Temos uma página inteiramente dedicada aos vetores colineares, onde poderás encontrar alguns pequenos "truques", que te ajudam a descobrir rapidammente se dois vetores no plano ou no espaço são colineares.

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